数学建模经典案例5-第十一章 博弈模型.pdf
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1、YQ数学模型产第章博弈模型11.1 进攻与撤退的抉择11.2 让报童订购更多的报纸11.3“一 口价”的战略11.4 不患寡而患不均1L5效益的合理分配1L6加权投票中权力的度量决策问题就学模型再(Decision Problem)单一决策主体三要素决策变量目标函数 Q优化模型约束条件(Optimiza tion)多个决策主体决策主体的决策f 博弈横型 行为发生直接相T肾并供生 互作用(相互影响)(Ga me Theory)博弈模型合作博弈非合作博弈Q静态、动态 日信息完全、不完全军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛11.1进攻与撤退的抉择背 1944年6月初,盟军在诺曼底登陆成功.
2、景至!18月初的形势:、盟军(加)一一一盟军(英)明军,羊 7德军u撤退盟军(美一):强笠箕一盟军 缺口 力.#日二:(预备队)东进餐里M(美二)双方应该如何决策?模型假设 1 博弈参与者为两方(盟军和德军)的 盟军有3种使用其预备队的行动:强化缺口,原地 待命,东进;德军有2种行动:向西进攻或向东撤退.博弈双方完全理性,目的都是使战斗中己方获得 的净胜场次(胜利场次减去失败场次)尽可能多.双方同时做出决策共同知识(以上信息双方共有)盟外厘竽向西进攻向东撤退强化缺口盟军胜1场无战斗原地待命盟军胜2场无战斗东进盟军败2场盟军胜1场完全信息 静态博弈博弈模型博弈参与者集合N=1,2(1为盟军,2为
3、德军)盟军行动 1 4=1,2,3(强化缺口/原地待命/东进);德军行动 242=1,2(进攻/撤退)。(行动:即纯战略)用1(为,做)表示对盟军产生的结果,即净胜场次,称为盟军的效用函数.完全竞争:零和博弈(常数和博弈)盟军、蟹向西进攻向东撤退强化缺口盟军胜1场无战斗原地待命盟军胜2场无战斗东进盟军败2场盟军胜1场1 0、=机。3 u2(ai,a2)5 a2 e 1,2.1 O加=%3x 2=2 0J 1 J不存在(纯)NE1,-1 U、M=2-2 2,12,2 I f非常数和 博弈(双矩 阵表示)(纯)NE:/=(%*,%*)=(2 2)混合战略(策略:Stra teg y)盟军的混合战略
4、集3Si=S=Si,2,3)I(数学模型声小i=l德军的混合战略集22=q=(q.%)I。V 7 V1,Z%=1 Z=13 2期望收益 u x(p,q)=pMqT=22i=l J=1Uz(p,q)=Ui(p,q)盟军 max pMq pM德军 min pMqT qc s2完全信息静态博弈有限博弈矩阵博弈(2人)零和博弈 常数和博弈模型求解 max pMqT min pMqT pS qeS?理性推理:不管自己怎么做,另一方总是希望尽量使自己得分尽量低.(二人零和博弈,完全竞争)H从一个给定的战略中期望得到的赢得,总是 q采用该策略时他们可能得到的最坏的赢得!口 盟军可以用min pM来衡量策略夕
5、的好坏4 德军可以用ma x 来衡量策略夕的好坏盟军 max 5(p)=min pM 线性02*=3/5,03*=2/5德军 min t/2()=max MqT 规初 夕*=1/5,q;=N5(p1*):混合(策略)纳什均衡(Mix ed NE)最优值均为2/5模型评述0 0、一加=1 0 占优(domina te):盟军的行动2占优于1-1 1(前面的非常数和博弈AT类似)混合策略似乎不太可行!但概率可作为参考.-一现实:盟军让预备队原地待命(行动2),而德军 没有选择撤退(行动2),结果德军大败.博弈规则至关重要的,如参与人决策的时间顺序、决策时拥有哪些信息等.多人(或非常数和)博弈问题,
6、一般不能用上面的线性 规划方法求解,而通过纳什均衡的定义求解.小结:博弈模型的基本要素参与人行动空间(及战略空间)效用函数理性假设参与者完全理性(最大化效用)纳什均衡 单向改变战略不能提高自己效用其他因素行动顺序(静态、动态)信息结构(完全、不完全)报童模型回顾11.2让报童订购更多的报纸订购价W,零售价p,处理价P(pwp0)需求量:密度函数加)、分布函数F(x),F(O尸0订购。份报纸,期望销售量为S(2)=fxfxdx+Qf(x)dx=xF(x)|?-f F(x)dx+2(1-尸(Q)=2-f F(x)dx 期望存货量/(Q)=Q-S(Q)=(%)d%期望利润最优订购量0/(2)=匕_
7、p-vG(Q)=pS(Q)+(。)一 wQ=(p-v)S(Q)-(w-v)Q入数学模型再问 题11.2让报童订购更多的报纸假设报社报纸成本价为C,论CRMax(w-c)2r(w)=(w-c)F-1 wc完全信息动态博弈:常称Sta ckelberg Ga me(两阶段)子博弈完美均衡:(w*,QrM)假设报社与报童联合,整体利润最大尸(Q*)=匕上 p-v一般w*c ff F(Qr)=p-v“整体利润有损失 能否改善(协调)?价格折扣协议模型折扣方案叫X。)下,报童效用(期望利润)Ur(%(Q)=(p f)S(Q)(%(Q)t)。假设报社与报童联合,整体期望利润UJQ)=(P-v)S(。)-(
8、C V)。达到协调q(叼(。)=加.(。)OA 1%(。)=%(c-v)+(l-2)(p-v)S(e)/Q 关于。的减函数(非线性)X 3 报童利润T,报社利润!利润的任意分配比例都可达到(数学模型回收协议模型模型一回收价格协议-wD-vv F(Qj=P p-vw=wb(b)=b+原订货量 回收价。卬秘)整体最优m)=-达到协调p c p-vv1 p-v p-b rU&)+Us =(p-v)S(Q*)-(c-v)Q*Ur(b)=lUr(b)+Us(b)b t,报童利润 I,报社利润f p-v5(b)=+q(时 利润的任意分配比例都可达到 p-V 尸(Q*)=P-p-v口(p-。)p-v券学模型
9、产回收协议模型模型二回收数量协议按批发价回收,比例为a报社回收 报童回收 报童利润A(2)=f aQf(x)dx+(Q-x)f(x)dx=尸(x)d xAl-a)Q/2(Q)=/(Q)1(Q)=f F(x)dxur(w,a,Q)=pS(Q)+必(Q)+vI2(Q)-wQ二(p w)Q-(%义 Q)产(Q*)=c p-vQr达到协调1。)。F(x)dx(2 _ W)l F(2r)-(w-v)(l-ps一匕*PrpMo)2Psma x%一Pb-Pb+Eps(vs)pbps(vs)Prpbps(vs)22具体战略(函数)形式不同,均衡就可能不同.单一价格战略Ps(%)=X.Vsx0,vbps(vs)
10、2*PrPb 2 Ps(匕)当外&,见+。Q fmax”一Pb-2Pb+(as+pb)as)/cs42 1Pb=11+买方:(同理),、2 1Ps(Vs)=Vs+12 1 z、Ps=5匕+大(即+与)1 1ah=,q,=9b 1 2 s 420=G=4双方战略互为最优反应,pQQ=j+A 构成贝叶斯纳什均衡!J J-乙券学模型产线性价格战略Pb,Ps11/43/4当马不成立时也适用(不唯一)01/43/4YQ数学模型产效率(线性价格战略)评述包含了交易价值(交易给双方 带来的效用之和,即以-匕)大于1/4的所有有效交易.效率为1/4*3/4=9/1 6可以证明,线性均衡 效率最大.不存在使所有
11、有利的交易 都成交的均衡战略组合.信息的不完全(非对称信 息)降低了交易效率.YQ数学模型产11.4不患寡而患不均问题最后通牒博弈(Ultima tum Ga me)甲乙两人就分配1笔钱(如100元)进行博弈.甲首先提出分配方案(分给乙的钱:s).如果乙接受,则按此分配;否则双方什么也得不到.完全信息动态博弈:均衡结果是(尸0,乙接受);如果要求严格均衡,则尸1分钱.现实中的情况果真如此吗?多数s=总额的4050%s越小,越容易被乙拒绝自私:理性/非理性?公平:利他/互惠?模型假设与建立 轴财富总额为1.曾接受提议:甲乙所得%1=1均=5;否则:X1=X2=01.每个参与者都喜欢对所有参与者公
12、平的结果;2.每个参与者自己受到不公平对待时的“愤怒”,胜过其他参与者受到不公平对待时的“愧疚”.效用函数(X9x2)=xi-%maxxy.-xt,0 -maxxi-,i=l,2,j=3-i A 0A xy=l-8时,Ufic)=项-也(xz-Xj)=pz-(2pz-l)xz 关于勺的系数非正(过分“愧疚”)模型求解 Ui(X,x2)=xz.-a.maxxy.-x.,0 -/3t max苍-xy.,0 乙的最优反应(给定s)如果不接受,则1=2=0;t/1(s)=Z72(s)=0.如果接受,贝iki=l-s,x2=s.员/2若仑1/2,则均之吃 心=s分(2s 1)1/20若W1/2,则“2故
13、1 0 2(s)=s-a2(l-2s)=(1+2%)s-a?t72(s)0 s N s(a2)=a2/(I+2a2)(s=1/2,两者一致)易知 0 4(%)1/2乙的最优反应 当sN s(%)接受;否则,不接受模型求解 甲的决策(只需考虑乙接受情形)Ca se 1:甲知道乙的a 2若后1/2,则巧之X1(s)=1-s-0(2s-1)“5=1/2时达到最大值1/2若 sWl/2,则但sN s(a2)UG)=1S4(12s)=l片+(2片1)5口力 1/2甲的决策 S*=乳)=%/(1+2%)均衡:(s*,接受)s*严格小于50%;是乙的“愤怒”系数的的增函数模型求解:甲的决策Ca se 2:甲
14、不知道乙的%,0=maxap(a)=O但知道知道分布产(%)区=min。归(0)=1 若仑 1/2,则看之 1 Ui(s)=l-s-di(2s-l)”同前若W1/2,则必3.乙接受概率 o,S s(a)p=F(s/(I-2s),s(a)s s(a)曰 m 0,s s(a)期里效用 EUi(s)=1 4+(2A l)s甲(s/(l 2s),s(a)s s(a)甲的决策 一 Max.1-A+(2-l)sF(s/(I-2)-s(2)W(a)(数学模型声模型解释 甲永远不会提出大于1/2的方案s 乙拒绝过小的方案s 乙接受概率随s增加不减很好地解释了实际中的最后通牒博弈参考文献A Th e ory o
15、f Fairne ss,Compe tition,and Coope rationA uth or(s):Ernst Fe h r and Klaus M.Sch mid tSource:The Quarterly Journal of Economics,Vol,1 1 4,No.3(A ug.,1 999),pp.81 7-868Publish e d by:Th e MI T Pre ssStable URL:h ttp:/wwwjstor.oig/stable/258688511.5效益的合理分配|例 甲乙丙三人合作经商,若甲乙合作获利7元,甲丙合作获利5元,乙丙合作获利4元,三人合作
16、获利11元.又知每人单干获利1元.问三人合作时如何分配获利?记甲乙丙三人分配为x=(x1,x2,x3)X+X.+X.=11 JL 4 Dxr+x2 7xr+x3 5x2+x3 4xi,x2,x3 1解不唯一(5,3,3)(4,4,3)(5,4,2)(1)Sha pley合作对策集合I=1,2,,V子集sw/,三实函数y(s)满足v(0)=0V(X U 2)v(1)+V(2),力 Pl 力=OA M人合作对策,特征函数 秘(s)子集s的获利%=(兀,4,X)人从叩)得到的分配,满足3,=v(/)i=lx.v(i)5 i=1 2/Sha pley合作对策公理化方法 0 Sha pley值f%.二
17、w(s)v(5)-v(s i)y i=12sS i(邛|)!(卜1)!w(间)=-f-nIs I子集S中的元素数目,Sj包含i的所有子集v(s)y(s,)i对合作s 的“贡献”(i e s)w(|s|)由IsI决定的“贡献”的权重数学模型2三人Q=1,2,3)经商中甲的分配X1的计算seSi1 1 U 2 1 U 3/y(s)1 7 511v(s 1)0 1 14v(s)-v(s 1)1 6 4751 2 23w(.yD1/3 1/6 1/61/3w(s)v(s)-V(5l)1/3 1 2/37/3*1=13/3 类似可得*2=23/6,七=17/6入数学模型再合作对策的应用污水处理费用的合理
18、分担三城镇地理位置示意图20km-38km污水处理,排入河流.三城镇可单独建处理厂,或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇).。污水量,L管道长度 建厂费用尸1=73。翼2 管道费用尸2=06605电污水处理的5种方案1)单独建厂。=73 小=230,0(2)=160,0(3)=230总投资 R=C+。(2)+53)=6202)1,2合作 C(l,2)=73-(5+3)0712+0.66-5051-20=350 总投资 a=C(l,2)+53)=5803)2,3合作 C(2,3)=73-(3+5)0712+0.66-3051-38=365 总投资 2=3)+。(2,3)=5954)1
19、,3 合作 C(l,3)=73-(5+5)0712+0.66-551 58=463 C(l)+C(3)=460 合作不会实现5)三城合 D5=C(l,2,3)=73-(5+3+5)0 71 2+0.66-50 51 20作总投资+0.66(5+3严.38=556区最小,应联合建厂 区如何分担?。二230/建厂费:心=73x(5+3+5)7i2=453。=16D5 1-2 管道费:&=66 x 50-51 x 20=30 C(3)=230 2-3 管道费:4=0.66 x(5+3)5i x 38=73城3建议:4按5:3:5分担,虑由城12担负城2建议:4由城12按5:3分担,4由城1担负城 1
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