2023考研高等数学强化讲义.pdf
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1、影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*第一章函数极限连续,重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是(A)/(x)=sing(0,+oo)X(B)/(x)=xsin,x g(0,+oo)X(C)/(x)=sin(0,+oo)X X(D)/(%)=7/”(0,2022)【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例212002,数二】设函数/(%)连续,则下列函数中,必为偶函数的是(A)/(*)山(C)tf(t)-f(-t)dt【详解】(B)力(D)口/。)+/(-。力影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*,重点题型二极限的概念例3【2014,数三】设lima”=a,且a
2、wO,则当/?充分大时有 8(A)q b)a-(D)an o x-o(A)0(B)6(C)36(D)oo【详解】例512002,数二】设丁 二式)是二阶常系数微分方程_/+处+在=e3满足初始条件式0)=了(0)=0的特解,则当1-0时,函数ln(l+%)的极限 7(%)(A)不存在(C)等于2【详解】(B)等于1(D)等于3影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型二与方法】-001-1/2(6-1)-dt例6【2014,数一、数二、数三】求极限lim7K X-+00 r(1 1【详解】【类型三与方法】O.oo例 7 lim ln(l+x)ln(l+ex)=.x-0+【详解】【类型四与方法】oo
3、-oo例 8求极限lim(x3 1n叶1-2x2XT8(X-l)【详解】【类型五与方法】0与00而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*(1 喘例9 2010,数三】求极限lim xx-i.X-+00 7【详解】【类型六与方法】广(n+n h-k n 工例10求极限lim(a 0,八e N).x o I n,【详解】4重点题型四已知极限反求参数【方法】例11【1998,数二】确定常数a,c的值,使limUm一二c(cw0).【详解】由考研it牛光韩龙等撤皆糠也钎*4重点题型五无穷小阶的比较【方法】例12【2002,数二】设函数/(%)在=0的某邻域内具有二阶连续导数,且/(0)。0,7(0)h0,/(0
4、)w0.证明:存在唯一的一组实数4,4,使得当力-0时,4/(/0+22/(2/1)+4/(3)一/(0)是比 h2 高阶的无穷小.【详解】例13【2006,数二】试确定4,B,。的值,使得/(1+而+。%2)=1+4%+0。3),其中。(了3)是当 f 0时比丁高阶的无穷小量.【详解】无水印版由【公众号:小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料,【公众号:小盆学长】,回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频,【公众号:小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷,【公众号:小盆学长】,回复【数学】免费获取无水印版由【公众号:小盆学长】免费提供影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*值.例14【2013,数
5、二、数三】当 0时,1-cos%cos2%cos3%与ax为等价无穷小,求八与a的【详解】工重点题型六数列极限的计算【方法】例15【2011,数一、数二】(I)证明:对任意正整数,都有一lnl+L0,%,用=*一1(=1,2).证明X 收敛,并求limx”.C0【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例17【2019,数一、数三】设%=,71一炉办5=0,1,2/一).(I)证明数列%单调减少,且。“=二%_25=2,3,);(II)求lim.”一刃 an-【详解】例18【2017,数一、数二、数三】求lim支与1-1+818普九(n【详解】,重点题型七间断点的判定V例19【2000,数二】设
6、函数/(%)=1在(一8,十8)内连续,且lim/(%)=0,则常数满足 a+e 1(A)a0,b0(C)a0【详解】(B)a0,b0(D)a0,b0且/(a)0(D)/(a)0 且/(a)0【详解】例2【2001,数一】设/(0)=0,则/(%)在=0处可导的充要条件为(A)Jnj/(l-cosh)存在(C)叫好/(一sinh)存在【详解】(B)11111工/(1/)存在h-h(D)盛/(20一/优)存在 0例3【2016,数一】已知函数/1(%)=,1 1 1,则一,-x 一,n=1,2,ji n+n(A)%=0是/(%)的第一类间断点(B)%=0是/(%)的第二类间断点(C)/(%)在=
7、0处连续但不可导(D)/(%)在=0处可导【详解】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立。重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数例4【1997,数一、数二】设函数/(%)连续,9(%)=/(X)力,且lim2a=(/为常数),求夕(%),Jo XfO JQ并讨论(p(x)在=0处的连续性.【详解】【类型二与方法】复合函数例 5【2012,数三】设函数/a)=ln,xl,y=/(/(%),求字=_2x-l,x)由参数方程=/(%)表示的曲线例10【2000,数二】已知/(x)是周期为5的连续函数,它在=0的某个领域内满足关系式/(I+sin x)-3/(1-sin x)=Sx+(x),其中
8、a(x)是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小,且/(%)在X=1处可导,求曲线y=/(%)在点(6,7(6)处的切线方程.【详解】x=【类型二与方法】参数方程 表示的曲线y=y(t)x=I eu du例11曲线 J。在(0,0)处的切线方程为.y=t2 ln(2-/2)【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型三与方法】极坐标厂=e)表示的曲线(三乃、例12【1997,数一】对数螺线厂=e,在点e2,-处切线的直角坐标方程为 2【详解】。重点题型四导数应用求渐近线【方法】例 13 12014,数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是(A)+sinx(C)y=x+sin-i x【详解】(B)
9、j/=x2+sinx(D)y=x2+sin【详解】例 14 2007,数一、数二、数三】曲线y=L+ln(l+/)渐近线的条数为 X(A)0(B)1(C)2(D)3而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*立重点题型五导数应用求曲率【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例15【2014,数二】曲线,上对应于,=1的点处的曲率半径是y=t+4/+1(A)(B)co ioVio(D)5&U50 100【详解】,重点题型六 导数经济应用【方法】(数三掌握,数一、数二大纲不要求)例16【2015,数三】为了实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型.设。为该商品的需求 量,P为价格,MC为边际成本,为需求
10、弹性(0).(I)证明定价模型为夕=与;1-7(II)若该商品的成本函数为。(0)=1600+。2,需求函数为0=40-2,试由(D中的定价模型 确定此商品的价格.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*,重点题型七导数应用求极值与最值【方法】例17【2000,数二】设函数/(%)满足关系式/(%)+/(%)=%,且/(0)=0,则(A)/(0)是/(%)的极大值(B)/(0)是/(%)的极小值(C)点(0,7(0)是曲线=/(%)的拐点(D)/(0)不是/(%)的极值,点(0,/(0)也不是曲线y=/(x)的拐点【详解】例18 2010,数一、数二】求函数/(%)=(Y力的单调区间与极值.【
11、详解】例19【2014,数二】已知函数y=满足微分方程,+/y,=1一了,且式2)=0,求7(无)的极大值与极小值.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*4重点题型八导数应用求凹凸性与拐点【方法】例 20【2011,数一】曲线y=Q 1)(%-2)2(%-3)3(%-4)4的拐点是(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)【详解】工重点题型九导数应用证明不等式【方法】例21【2017,数一、数三】设函数/(%)可导,且/(%)/(%)0,则(A)/(1)/(-1)(B)/(I)|/(-1)|(D)|/(1)|0,fx)0.设ba,曲线y=/(%)在点3,/3)处的切线与
12、x轴的交点是(%o,O),证明影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【详解】工重点题型十导数应用求方程的根【方法】例 23 2003,【详解】数二】讨论曲线y=41n%+上与y=4%+ln4%的交点个数.例 24 2015,【详解】数二】已知函数/(%)=/J1+14+;Jl+tdt,求/(%)零点的个数.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*,重点题型十一微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有一个点的等式例25【2013,数一、数二】设奇函数/(%)在1,1上具有二阶导数,且/(1)=1.证明:(I)存在 J(0,1),使得/G)=l;(II)存在 使得/()+/()=L【详解】例26设函数/(%)
13、在0上连续,在(0,1)内可导,/(1)=0,证明:存在Jw(0,l),使得(2 J+1)/0+歹砥)=0.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*【类型二与方法】证明含有aV两个点的等式例27设/(%)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且0)=0,/(1)=1.证明:(I)存在两个不同的点九点(0,1),使得/&)+/(4)=2;(ID 存在或”(0,1),使得力)=/()/().【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例28【2019,数二】已知函数/(%)在0上具有2阶导数,且/(0)=0,/(1)=1,;/(%)办=1.证明:(I)存在J e(0,1),使得广(约=0;
14、(ID 存在 w(0),使得/()/2 1(C)A 41【详解】,rL T Ct tanx.x.n.设,-4-dx,/?=4 dx,则Jo x tanx(B)1 /,/2(D)1 /2 Zi工重点题型二不定积分的计算【方法】例4计算下列积分:【详解】例 5 2009,数二、【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例6求j-dx.J 1+sin x+cos x【详解】,重点题型三定积分的计算【与方法】例7【2013,数一】计算牛几,其中/(7=产(;+1)山.【详解】乃 sinx 生 1例8求下列积分 p-.dx;(2)f2-dx.Jo es-+ecosx J。l+(tanxr【详解】n例 9
15、求 Jj ln(l+tan X世.【详解】由考研战干光韩龙等裁考糠也裙*。重点题型四反常积分的计算【方法】例 10 1998,数二】计算积分7 7办一 5 l【详解】(B)a 1 且6 1(D)且。+61影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例12 2010,数一、数二】设加,均为正整数,则反常积分如2(1)dx的收敛性(A)仅与加的取值有关(C)与犯的取值都有关(B)仅与的取值有关(D)与加,的取值都无关【详解】,重点题型六变限积分函数,sin x,0 x -Cx例 13【2013,数二】设函数/(%)=.,F(x)=则2,71 X 271 Jo(A)%是函数/(%)的跳跃间断点(B)1 二;z是
16、函数尸(%)的可去间断点(C)厂(%)在X=处连续但不可导(D)厂(%)在=%处可导【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例14【2016,数二】已知函数/(%)在0,y 上连续,在(0,芳)内是函数2:s:的一个原函数,且0)=037r(I)求/(%)在区间0,上的平均值;2(II)证明了(%)在区间内存在唯一零点.【详解】工重点题型七定积分应用求面积【方法】例1512019,数一、数二、数三】求曲线_y=e-、sin%(%20)与1轴之间图形的面积.【详解】由考研it牛光韩龙等撤皆糠也钎*4重点题型八定积分应用求体积【方法】例16【2003,数一】过原点作曲线歹=lnx的切线,该切线与曲
17、线y=In%及x轴围成平面图形。.(I)求。的面积/;(II)求。绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积厂.【详解】例1712014,数二】已知函数/(x,y)满足或=2旬+1),且/(y)=(y+lp(2 y)lny,求 勿曲线/(%/)=0所围图形绕直线歹=-1旋转所成旋转体的体积.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*4重点题型九定积分应用求弧长【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例18求心形线r=a(l+cos 0)的全长.【详解】工重点题型十 定积分应用求侧面积【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例19【2016,数二】设。是由曲线y=与=cs J。工围成的平面区域,y=
18、sin31 k 2)求。绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.【详解】4重点题型十一定积分物理应用【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立例2012020,数二】设边长为2。等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐,设重 力加速度为g,水密度为夕,则该平板一侧所受的水压力为.【详解】,重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】例21 2000,数二】设函数Sa)=J;|cos4力.(I)当”为正整数,且力4%(%+1)4时,证明2 SQ)-KO JQ【详解】例22【2014,数二、数三】设函数/(%),g(%)在区间上连续,且/(%)单调增加,
19、04ga)l.证明:(I)0 j g(t)dt x-a9x&;M+f g)力 pb(ID a f(x)dx 0,lim/(x)=l,且满足/(%+hx)、/a)lim小0求/(%).【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999,数二】求初值问题(y+Jx2+y2)dx-xdy=0(x 0):的解.y影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010,数二、数三】设%,为是一阶线性非齐次微分方程_/+以%)7=夕(%)的两个特解.若常数使力必+%是该方程的解,丸必-当是该方程对应的齐次方程的解,则(B)A-=U=2尸 2(A)A=,U=2尸22 1(c)/=w2 2
20、(D)2=|,A=f【详解】例5【2018,数一】已知微分方程y+y=/(%),其中/(%)是R上的连续函数.(I)若/(%)=x,求方程的通解;(II)若/(%)是周期为T的函数,证明:方程存在唯一的以丁为周期的解.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型四与方法】伯努利方程(数一掌握,数二、数三大纲不要求)4 L例6求解微分方程y y=x24 y.X【详解】令Z=。,则z 2z=!12,得 x 2fx2e dx+CU2=x2 1;%+C方程的通解为6=工/+d2,其中。为任意常数.2【类型五与方法】全微分方程(数一掌握,数二、数三大纲不要求)例7求解下列微分方程:(1)(2xey+3x2-V
21、)dx+(x2ey-2y)dy=0;(2)三办+/-产2砂=0 y y【详解】(1)法一:P(x,y)=2xey+3x2-l,Q(x,y)=x2ey-2y,贝 U 丝=2%=丝,方程 dy dx为全微分方程.设存在(%/),使得=dx+dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,得 dx dy u(x,j)=j(2xey+3x2-V)dx=x2ey+x3-x+(p(y)由包=+”(y),得(y)=_2y,/(y)=_y2,方程的通解为办x2ey+x3-x-y2=C.法二:由(2xey+3x2-)dx+(x2ey-2y)dy=(2xeydx+x2eydy)+(3x2 V)dx+(2y)dy=d(x
22、2ey)+d(x3-x)+d(-y2)=d(x2ey+x3-x-y2)=0 x2ey+x3-x-y2=C.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*(2)设P(%)岩,则磬_”=争 y y oy y ox当ywO时,方程为全微分方程.,、I。,py 3x,2 I 1 1 2-u(x,y)=2xax+-ay=x+l+-x=CJo Ji y y y方程的通解为x2-y2+y3=Cy工重点题型二二阶常系数线性微分方程【方法】例8【2017,数二】微分方程歹一4_/+8y=62(1+(;。5 2%)的特解可设为_/=(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Cs
23、in2x)(C)Ae2x+xe2xBcos2x+Csin2x)(D)Axe2x+xe2xBcos2x+Csin2x)【详解】例9【2015,数一】设y=+(%;)/是二阶常系数非齐次线性微分方程yn+ay+by=cex一个特解,则(A)a=3,b=2,c=1(B)a=3,6=2,c=l(C)a=3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=1【详解】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立例 102016,数二】已知%(%)=/,%(%)=(%)/是二阶微分方程(2X-l)y-(2x+l)y+2y=0的两个解.若(-l)=e,(0)=-1,求(%),并写出该微分方程的通解.【详解】例11 2016,数一】
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