椭圆经典练习题44道.doc

(完整版)椭圆经典练习题44道

椭圆训练题一
1．过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）．
A。 B。 C. D。
2．设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为(　　）
A。 B。 C。 D。16
3．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心,若,则该椭圆的离心率是（ )
A． B． C． D．
4．已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是(　　）
A。2 B。4 C。8 D。
5．从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是（ )
A. B. C。 D.
6．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知(a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点,且直线PM、PN的斜率分别为，（≠0），若｜｜＋|｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ )
A． B． C． D．
8．已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，
，则该椭圆的方程是
B． C． D．
9．已知椭圆C:，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A， B,线段MN的中点在C上，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．过点M(1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知动点在椭圆上,若点坐标为，,且，则的最小值是（ ）
A。 B。 C. D.
12．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　）
A．1 B. C．2 D。
13．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点,若，,则椭圆的离心率为（ )
A。 B。 C。 D。
14．椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
15．已知椭圆,则以点为中点的弦所在直线方程为( ）．
A． B．
C． D．
16．过点M（－2，0）的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1,P2，线段P1P2的中点为P．设直线l的斜率为k1(k1≠0），直线OP（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2等于（　　)
A．－2 B．2 C．－ D．
17．已知椭圆C:＋＝1（b>0)，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点,则实数b的取值范围是（　　)
A．［1,4) B．[1,＋∞)
C．［1，4）∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
18．直线L：与椭圆E： 相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得
△ PAB的面积等于3，则这样的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
20．已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．(0， 1） B．(0，5） C．［1，5) D．［1，5）∪(5，＋∞）
21．设椭圆的方程为右焦点为,方程的两实根分别为，则( ）
A。必在圆内
B。必在圆外
C.必在圆外
D.必在圆与圆形成的圆环之间
22．椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点,若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
24．已知焦点在轴的椭圆 的左、右焦点分别为，直线过右焦点，和椭圆交于两点，且满足, ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
25．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A． 　　B． 　　C． 　　D．
26．已知椭圆C的方程为（m＞0),如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为(　　)
A．2 B．2
C．8 D．2
27．椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上,那么｜PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
28．过椭圆（a〉b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，向量与向量a=(3，-l）共线，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
29．已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是（　　)
A。 B。 C。 D。
30．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于（　　)
A.4 B。 C。 D。
31．设分别是椭圆：的左、右焦点,过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P,两点，且.则该椭圆的离心率为（    ）
A. B. C. D.
32．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为（　　）
A. B.
C. D。
33．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A、B是以O（O
为坐标原点）为圆心、|OF1｜为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）
A．2 B．3 C．6 D．8
35．已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．过椭圆的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点,若∠，则椭圆的离心率等于( ）
A． B． C． D．
37．已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接,若,则椭圆的离心率
A． B． C． D．
38．已知是椭圆,上除顶点外的一点，是椭圆的左焦点，若 则点到该椭圆左焦点的距离为( )
A. B。 C . D。
39．已知点A(0，1)是椭圆上的一点，P点是椭圆上的动点，
则弦AP长度的最大值为（ ）
A。 B.2 C。 D。4
40．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最小值为( ）
A． B．— C． D．1
41．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点,若点满足且，则的最小值为( )
A． B． C． D．
42．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点,若，则的面积为（ )
A． B． C． D．
43．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44．已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点.若，则该椭圆的离心率为 （　　)
A． B．
C． D．

参考答案
1．B
【解析】
试题分析:由题意得点P的坐标为,因为
所以，即，所以
解得（舍去），答案为B
考点：椭圆的简单性质
2．B
【解析】
试题分析:根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F1(﹣3，0）、F2（3，0）．由椭圆的定义|PF1|+｜PF2|=10,△PF1F2中用余弦定理得到|PF1|2+|PF2｜2﹣2｜PF1|•|PF2|cos30°=36，两式联解可得|PF1|•｜PF2｜=64(2﹣)，最后根据三角形面积公式即可算出△PF1F2的面积．
解：∵椭圆方程为,
∴a2=25,b2=16，得a=5且b=4，c==3，
因此，椭圆的焦点坐标为F1(﹣3，0）、F2(3,0)．
根据椭圆的定义，得|PF1｜+|PF2|=2a=10
∵△PF1F2中，∠F1PF2=30°,
∴｜F1F2｜2=|PF1｜2+｜PF2|2﹣2|PF1｜•|PF2|cos30°=4c2=36，
可得（|PF1｜+|PF2｜）2=36+（2+）｜PF1|•|PF2｜=100
因此,|PF1|•｜PF2｜==64（2﹣），
可得△PF1F2的面积为S=•｜PF1|•｜PF2｜sin30°=
故选：B
点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度,求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
3．C
【解析】
试题分析：解:设的内切圆半径为，则由，得,即,即，
椭圆的离心率为，故答案为C。
考点：椭圆的简单几何性质。
4．B
【解析】
试题分析:根据椭圆的方程算出a=5，再由椭圆的定义，可以算出｜MF2|=10﹣｜MF1|=8．因此,在△MF1F2中利用中位线定理，得到｜ON｜=|MF2｜=4．
解:∵椭圆方程为,
∴a2=25，可得a=5
∵△MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点
∴｜ON｜=|MF2|
∵点M在椭圆上，可得|MF1｜+|MF2｜=2a=10
∴|MF2|=10﹣｜MF1｜=8，
由此可得｜ON|=|MF2|==4
故选：B

点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5．B
【解析】
试题分析：设椭圆的标准方程为=1，
在第一象限内取点（x，y）,设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）,
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2,
即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2—c2），整理得5a2≤9c2且12 a2 ≥16 c2，
∴，即e∈,故选B.
考点：椭圆的基本性质，离心率。
6．D
【解析】
试题分析：圆配方得，半径,因此，得，离心率,得
，由于焦点在轴上,因此椭圆的方程是．
考点：椭圆的标准方程．
7．C
【解析】
试题分析:设
，
由题意可得：所以。
考点：椭圆的性质.
8．A
【解析】
试题分析：设椭圆的方程为：，由题意可得:，又因为，,所以，即
，所以，即，所以椭圆的方程为：．
考点:椭圆的定义及性质．
9．B．
【解析】
试题分析：如图，设的中点为,由题意可知,,分别为，的中位线,
∴．

考点：椭圆的性质．
10．A
【解析】
试题分析：设A(x1,y1），B(x2，y2）,则 ,
∵ 过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得 , .故选A。
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
11．B
【解析】
试题分析:点为椭圆的右焦点，由于，。当最小时，最小，
的最小值为，此时。
考点:椭圆的性质。
12．D
【解析】
试题分析：由已知得,且设，则有：由PF1⊥PF2得①且代入①得:;故选D．
考点：１．椭圆的性质；２．向量的数量积．
13．D
【解析】
试题分析：由条件，则x轴，而，∴为等边三角形，而周长为4a，
∴等边三角形的边长为，焦点在直角三角形中，,，，
∴,即,∴，∴。
考点:椭圆的标准方程及其几何性质.
14．C.
【解析】
试题分析：设椭圆的方程为，,分别为其左右焦点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知,.由得，即，再由即可求出离心率的取值范围.
考点：椭圆的几何性质;椭圆的第二定义.
15．A
【解析】
试题分析：设弦的两端点为A（x1，y1)，B（x2，y2）,
代入椭圆得，
两式相减得，整理得
∴弦所在的直线的斜率为,其方程为y-2=（x+1），整理得．故选A．
考点：椭圆中点弦问题；直线方程的求法．
16．C
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2），P(x0，y0)，则x12＋2y12＝2，x22＋2y22＝2，两式作差得x12－x22＋2（y12－y22)＝0，故k1＝＝－＝－,又k2＝，∴k1k2＝－．
17．C
【解析】直线恒过定点（0，1）,只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．
18．B
【解析】
试题分析:设,即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积，
，
所以，因为为定值，
所以的最大值为，
所以点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.
故选B.

考点:直线与圆锥曲线的关系。
19．D
【解析】
试题分析：画出如下示意图．可知0M为△PF1F2的中位线，∴PF2=2OM=2b,∴PF1=2a—PF2=2a-2b，又∵M为PF1的中点,∴MF1=a-b，∴在Rt△OMF1中，由OM2+MF12=OF12,可得（a-b)2+b2=c2=a2—b2．可得2a=3b，进而可得离心率e=．

考点：椭圆与圆综合问题．
20．D
【解析】
试题分析:由于直线y=kx+1恒过点M（0，1)
要使直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则只要M(0，1）在椭圆的内部或在椭圆上
从而有,解可得m≥1且m≠5,故选D．
考点：直线与椭圆的相交关系的应用，直线恒过定点，直线与圆锥曲线的关系．
21．
【解析】由韦达定理，
所以
因为，所以，即
故必在圆与圆形成的圆环之间
故选
考点：椭圆的离心率；点与圆的位置关系。
22．C
【解析】
试题分析：由题意得，，∴，∴,∴,
∴，∴。
考点：椭圆的标准方程及性质。
23．B
【解析】
试题分析：依题意可知点F(-c，0）直线AB斜率为 ，直线BF的斜率为 ，∵∠FBA=90°，∴（ ）•（ ）整理得，即 ，即e2—e-1=0,解得e=或∵e＜1,∴e=，故选B．
考点：椭圆的离心率.
24．A
【解析】如图所示，设则，由椭圆的定义，得，，在中，由余弦定理得，，解得，在中，由余弦定理得，,解得，故，故椭圆方程为．

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性较高，意在考查学生逻辑思维能力、综合解决问题的能力．
25．A
【解析】
试题分析:记线段PF1的中点为M，椭圆中心为O，连接OM，PF2则有｜PF2|=2|OM|，，解得 ．故选A．
考点:圆与圆锥曲线的综合．
26．B
【解析】根据已知条件c＝，则点（，)在椭圆(m＞0)上,
∴=1,可得m＝2.
27．A
【解析】由题设知F1（﹣3,0），F2（3，0），
∵线段PF1的中点在y轴上,
∴P(3，b）,把P(3,b）代入椭圆=1，得．
∴｜P F1｜=，｜P F2｜=．
．
故选A．
28．
【解析】设椭圆的左焦点为,，则,直线的方程为,代人椭圆方程并整理得：.
由韦达定理得，，所以，,
根据与共线得,，
即，，故选。
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系,共线向量。
29．B
【解析】，
,
,
，
则.。选B
30．B
【解析】直线y＝kx＋1恒过点（0,1），该点恰巧是椭圆的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A、C；将直线y＝kx＋1绕点(0，1）旋转，与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因此排除D.选B.
31．B
【解析】直线斜率为1，设直线的方程为，其中。
设，则两点坐标满足方程组
化简得，则，

因为,所以。
得，故，
所以椭圆的离心率，选B。
32．C
【解析】   
，
,

  ,，选C。
33．D
【解析】
试题分析：因为是正三角形，可知点的坐标为，代入椭圆方程化简即可求出该椭圆的离心率为.
考点:椭圆的离心率的求法。
34．C
【解析】设，则即,又因为，
，
又，∴,所以．
35．C
【解析】
试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即，∴，解得,
∴,即，而，∴，即.

考点:椭圆与圆的标准方程及其性质.
36．A
【解析】
试题分析：，解之得.
考点：椭圆
37．A
【解析】
试题分析：由已知条件，利用余弦定理求出｜AF|，设F′为椭圆的右焦点,连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
考点:（1）余弦定理；(2)椭圆的几何性质．
38．C
【解析】
试题分析：取的中点,连接,,中，是中位线,所以的长等于8，,解得，故选C。
考点：椭圆的定义，方程
39．C
【解析】
试题分析：设x=2cosα，y=sinα，则弦AP=。
考点：（1)椭圆；(2）三角函数。
40．B
【解析】
试题分析：由题意,F（1，0），设点P（），则有，解得，因为＝（1−，−),＝(，），所以＝(1−)−= （1— ）=+x0−1,
此二次函数对应的抛物线的对称轴为=1，因为，所以当x0=1时，则的最大值为．故答案为:B．
考点：1。椭圆的简单性质；2.平面向量数量积的运算．
41．A
【解析】由题意得所以
考点：圆的切线长，椭圆定义
42．A
【解析】
试题分析:由得，
由椭圆定义: ，在中
由余弦定理得：
即
，，故选A。
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
43．C
【解析】
试题分析：因为点在轴上的射影恰好为右焦点，所以点，.因为所以
考点：椭圆离心率
44．B
【解析】
试题分析：因为,所以由射影定理得，所以即,因为所以
考点:椭圆的离心率
答案第19页，总19页