人教版八年级上册12.2全等三角形常见模型讲义设计.doc

人教版八年级上册 12.2 全等三角形常见模型讲义设计
全等三角形常见模型
要点梳理

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等
要点一、全等三角形的判定与性质

要点二、全等三角形的证明思路

类型一：角平分线模型应用
1. 角平分性质模型：（利用角平分线的性质）
辅助线：过点G作GE⊥射线AC

例题解析
例1：（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.
（2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.
图1图2
【答案】①2 （提示：作DE⊥AB交AB于点E）
②，，，，.
变式1：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠BAC.
求证：

变式2：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD，求证：AC平分∠BAD

变式3：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
(1) 求证：CE=CF.
(2) 将图1中的△ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，是猜想：于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.
图1 图2

变式4：如图，，P是AB的中点，PD平分∠ADC．求证：CP平分∠DCB．

变式5：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

变式6：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。

变式7： 如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

类型二：角平分线模型应用
2. 角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC.

例题解析
例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，    ∴∠ADO=∠AQO，
    又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO，    ∴OD=OQ，AD=AQ，
    又∵OD∥BP，    ∴∠PBO=∠DOB，
    又∵∠PBO=∠DBO，    ∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，
    ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。     
解题后的思考：
（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。
小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

例2：如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．
，理由如下．
如图所示，在的延长线上截取，连接．
因为是的外角平分线，
故．
在和中，，，公用，
因此，
从而．
在中，，
而，
故．
例3：在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．

在上截取，连结，根据证得≌，∴，又中，，，∴
变式练习
1、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。
E
A
D
B
C

2、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
求证：AD＋BD＝BC
A
C
B
D

3、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，
求证：AC＋CD＝AB

4、已知：在△中，的平分线和外角的平分线相交于D,DF∥BC,交于求证：

5、在△中，平分，是中点，连结，求证：

6、已知：在△中，平分，
求证：

7、 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E. 求证：（1） BF=DF； (2) AD=DE.

8、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPD

9、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。

10、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.

11、如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，． 求证：∥

12、如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．

类型三：等腰直角三角形模型
1、在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点C作MC⊥BC，连AM导出上述结论.

2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连AD.
（1）. 使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.
（2）. 使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE.
例题解析
例1：两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD得中点M，连接ME，MC，试判断△EMC的形状，并证明你的结论。

证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.
（1） （2）
方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.
例2：已知：如图所示，Rt△ABC 中，AB=AC，，O为BC中点，若M、N分别 在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.
（1）是判断△OMN的形状，并证明你的结论.
（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

思路：两种方法：

例3：在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求∠BAE=∠DCF为多少度.
提示如右图：
类型四：三垂直模型（弦图模型）

由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△BCD导 由△ABE≌△BCD导出
ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD
例题解析
例1：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF。求证：∠ADB=∠CDF.

思路：
方法一: 过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM，再证 △CDF ≌△CMF即可.

（一） （二） （三）
方法二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF， 再证 △CDF ≌△ADH即可.
方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF ≌Rt△BMH，得出 HF∥AC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB，又由于，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为线段HF的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2 ，则∠ADB=∠CDF .
变式1：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证：①∠ADB=∠CDF. ② BM=AF+FN

思路：同上题的方法一和方法二一样.

变式2：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：①PM=PN, ② PB＝PF+AF.

思路：同上题的方法一和方法二一样.

类型五：手拉手模型
1.△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）. △ABF≌△AEC （2）.∠BOE=BAE=60°（“八字模型证明”）（3）.OA平分∠EOF
拓展：
条件：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ为等边三角形
（4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO平分∠AOE （7）、OA=OB+OC
（8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）
2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD
3.ABEF和ACHD均为正方形

结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF

例题解析
例1如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，
证明（1）（2）（3）与之间的夹角为
（4）（5）（6）平分（7）

例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？

例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点
问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？

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