行程问题之钟表问题.ppt

行程问题 之钟表问题数量关系及资料分析数量关系及资料分析钟表问题内容简介内容简介概述概述知识准备知识准备例题例题练习练习小结小结“时间就是生命时间就是生命”。自从人类发明了计时工具自从人类发明了计时工具钟表，人们的钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学间吃饭，什么时间上学全都依靠钟表，全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。如果没有钟表，生活就乱套了。时钟问题时钟问题时钟问题就是研究钟面上的时钟问题就是研究钟面上的时针和分针关系时针和分针关系的问题。的问题。时钟问题经常围绕着两针时钟问题经常围绕着两针重合、垂直、成直线重合、垂直、成直线等展开。等展开。都知道钟面的一周分为都知道钟面的一周分为60格，格，分针每走分针每走60格，时针正好走格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度格，所以时针的速度是分针速度垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。知识准备知识准备分针：分针：360/60min=6/min时针：时针：30/60min=0.5/min课前练习：课前练习：1、圆形时钟的钟面被分成多少个大格？多少、圆形时钟的钟面被分成多少个大格？多少个小格？一个大格是多少度？一个小格是多个小格？一个大格是多少度？一个小格是多少度？少度？2、时针每小时走过多少度？为什么？每分钟、时针每小时走过多少度？为什么？每分钟呢？呢？3、分针每分钟走过多少度？为什么？、分针每分钟走过多少度？为什么？时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系：系：抓抓住住起起始始和和终终止止两两个个时时刻刻算算出出分分针针走走了了多多少少分分钟钟，由由上上述述表表格格算算出出时时针针和和分分针针各各转转了了多多少少度度，再再在在钟钟面上比较，求出结果面上比较，求出结果.现举例说明现举例说明.时钟问题知识点说明时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及人追及或相遇问题，不过这里的两个或相遇问题，不过这里的两个“人人”分别是时钟的分别是时钟的分针和时针。分针和时针。我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。时针与分针所成的角度等等。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是时，而是2个指针个指针“每分钟走多少角度每分钟走多少角度”或者或者“每每分钟走多少小格分钟走多少小格”。对于正常的时钟，。对于正常的时钟，具体为：整个钟面为具体为：整个钟面为360度，上面有度，上面有12个大格，每个个大格，每个大格为大格为30度；度；60个小格，每个小格为个小格，每个小格为6度。度。分针速度：每分钟走分针速度：每分钟走1小格，每分钟走小格，每分钟走6度度时针速度：每分钟走时针速度：每分钟走 1/12小格，每分钟走小格，每分钟走0.5度度注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟怪钟”，或者是，或者是“坏了的钟坏了的钟”，它们的时针和分针，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。要学会对不同的问题进行独立的分析。要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为次重合到下一次重合，所需时间为 分分例例 现在是现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，分析：如右图所示，2点分针指向点分针指向12，时针指，时针指向向2，分针在时针后面，分针在时针后面 例例 在在7点与点与8点之间，时针与分针在什么时刻相点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？互垂直？分析与解：分析与解：7 7点时分针指向点时分针指向1212，时针指向，时针指向7 7（见右图）（见右图），分针在时针后，分针在时针后 面面57573535（格）。时针与分针垂（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差直，即时针与分针相差1515格，在格，在7 7点与点与8 8点之间，有点之间，有下下图所示的两种情况：图所示的两种情况：（1）顺时针方向看，分针在时针后面）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从格。从7点点开始，分针要比时针多走开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需（格），需（2 2）顺时针方向看，分针在时针前面）顺时针方向看，分针在时针前面1515格。从格。从7 7点点开始，分针要比时针多走开始，分针要比时针多走353515155050（格），需（格），需例例3 在在3点与点与4点之间，时针和分针在什么时刻点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？位于一条直线上？分析与解：分析与解：3点时分针指向点时分针指向12，时针指向，时针指向3（见右（见右图），分针在时针后图），分针在时针后 面面5315（格）。时针与分（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成分针成180角两种情况（见下图）：角两种情况（见下图）：1）时针与分针重合。从）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走点开始，分针要比时针多走15格，需格，需152 2）时针与分针成）时针与分针成180180角。从角。从3 3点开始，分针要比点开始，分针要比时针多走时针多走15153030例例4 晚上晚上7点到点到8点之间电视里播出一部动画点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？时间？分析与解：这道题可以利用例分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成始时两针成180，结束时两针重合，分针比，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间格，所以播出时间为为总结总结例例1例例4都是利用追及问题的解法，先找都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。例例5 3点过多少分时，时针和分针离点过多少分时，时针和分针离“3”的距的距离相等，并且在离相等，并且在“3”的两边？的两边？分析与解：假设分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。个格。例例6 小明做作业的时间不足小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？换了一下。小明做作业用了多少时间？分析与解：从左上图我们可以看出，分析与解：从左上图我们可以看出，时针从时针从A A走到走到B B，分针从，分针从B B走到走到A A，两针一共走了一圈。换一个角度，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从问题可以化为：时针、分针同时从B B出发，出发，反向而行，它们在反向而行，它们在A A点相遇。两针所行的点相遇。两针所行的时间是：时间是：时针与分针的追及与相遇问题时针与分针的追及与相遇问题【例例 1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快每小时快 30 秒秒.而闹钟却比标准时间每小时慢而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？闹钟比标准的慢闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（那么它一小时只走（3600-30）/3600个个小时，小时，手表又比闹钟快手表又比闹钟快 那么它一小时走（那么它一小时走（3600+30）/3600个小个小时，则标准时间走时，则标准时间走1小时小时 手表则走（手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，个小时，手表每小时比标准时间慢手表每小时比标准时间慢1【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=114399/14400=1/14400个小时个小时，也就是也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜四分之一秒，所以一昼夜24小时小时比标准时间慢四分之一乘以比标准时间慢四分之一乘以24等于等于6秒秒【巩固巩固】小强家有一个闹钟，每时比标准时间快小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。分。有一天晚上有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨晨6 00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【解析解析】6：24【巩固巩固】小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。分。有一天晚上有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨晨6 30起床，于是他就将闹钟的铃定在了起床，于是他就将闹钟的铃定在了6 30。这个。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？00002【解析解析】7点点【巩固巩固】当时钟表示当时钟表示1点点45分时，时针和分针所成的分时，时针和分针所成的钝角是多少度？钝角是多少度？00003【解析解析】142.5度度【例例 1】有一座时钟现在显示有一座时钟现在显示10时整那么，经过时整那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合钟，分针与时针第二次重合?例例1 时针与分针的夹角时针与分针的夹角一钟表一钟表9点点20分停了，这时表面上时针与分分停了，这时表面上时针与分针的夹角是多少度？针的夹角是多少度？“夹角夹角”指的是两针所成角中小于指的是两针所成角中小于180的那个角。的那个角。时针和分针中间夹着的大格数和小格所时针和分针中间夹着的大格数和小格所占部分的和占部分的和 就是夹角。就是夹角。分析：分析：解：解：530+0.520=160时钟问题时钟问题练习：练习：钟表在钟表在5点点40分时时针与分针所夹的锐角是分时时针与分针所夹的锐角是多少度？多少度？例例2：从一时刻到另一时刻走过的角度：从一时刻到另一时刻走过的角度从从2点点30分到分到2点点45分，时针和分针各走分，时针和分针各走了多少度？了多少度？分析：分析：时针每分钟走时针每分钟走0.5，分针每分钟走，分针每分钟走6。所走角度所走角度=每分钟走的度数每分钟走的度数时间时间解：解：615=90 0.515=7.5练习：练习：1、从、从8点点15分到分到8点点25分，时钟的分针转分，时钟的分针转了多少度？时针转了多少度？了多少度？时针转了多少度？2、由、由2点到点到7点点30分，钟表的时针转过的角分，钟表的时针转过的角度是多少？度是多少？3、时钟的时针转了、时钟的时针转了20角，则时间过了多角，则时间过了多少分？少分？例例3：巧用追及解钟表问题巧用追及解钟表问题在两点到三点之间，什么时刻时针和分针重在两点到三点之间，什么时刻时针和分针重合？合？分析：分析：速度差速度差时间时间=路程差路程差解：设两点解：设两点x分时针与分针重合，根据题意得分时针与分针重合，根据题意得 （6 0.5）x=60 练习：练习：1、从、从7点到点到8点之间，什么时刻时针与分针重合？点之间，什么时刻时针与分针重合？2、在、在1点到点到2点之间，什么时刻时针与分针成直角点之间，什么时刻时针与分针成直角？3、从、从5点到点到6点之间，什么时刻时针与分针成直角点之间，什么时刻时针与分针成直角？4、8点几分时针和分针在一条直线上？点几分时针和分针在一条直线上？练习练习如图，在时钟盘面上，如图，在时钟盘面上，1点点45分时的时针与分针之间的夹角分时的时针与分针之间的夹角是多少？是多少？【解析解析】从从1：00到到1：45分分，时针，时针走的度数为：走的度数为：0.5/min45 min=22.59点整到点整到13点整之间包含有点整之间包含有4个小格个小格即即 30 4=120 所以：所以：夹角为夹角为120+22.5=142.56、小红傍晚、小红傍晚6点钟去商场买本，走进商场看点钟去商场买本，走进商场看到钟表上的时针和分针的夹角是到钟表上的时针和分针的夹角是120，买完，买完本后，走出商场看到钟表上的时针和分针的本后，走出商场看到钟表上的时针和分针的夹角又是夹角又是120，但已近晚上，但已近晚上7点钟了，问小点钟了，问小红买本用了多长时间？红买本用了多长时间？一、整点时刻两针的夹角一、整点时刻两针的夹角例例1 求下午求下午4时，时针与分针之间的夹角时，时针与分针之间的夹角.分析：分析：下午下午4时，时针指在时，时针指在4上，分针指在上，分针指在12上，于是可求上，于是可求出它们之间的夹角出它们之间的夹角.解：解：因为下午因为下午4时，时针指在时，时针指在4上，分针指在上，分针指在12上，所以上，所以430120.评注：评注：因为整点时，分针始终指向因为整点时，分针始终指向12，所以可把分针看作，所以可把分针看作角的始边，时针看作角的终边，时针旋转一周角的始边，时针看作角的终边，时针旋转一周360需要需要12个个小时，所以时针每小时旋转的角度为小时，所以时针每小时旋转的角度为3601230.由于我由于我们现在研究的角都是小于平角的角，所以在们现在研究的角都是小于平角的角，所以在1到到6小时，两针小时，两针的夹角为的夹角为30n(n1，2，6)；在；在7到到12小时，两针的夹小时，两针的夹角为角为36030n(n7，8，12).显然，任意整点时刻显然，任意整点时刻时针与分针的夹角我们都可以通过上面的两个公式求出来，时针与分针的夹角我们都可以通过上面的两个公式求出来，值得注意的是，钟面上两针的夹角有可能会相等，如值得注意的是，钟面上两针的夹角有可能会相等，如3点和点和9点时两针的夹角都是点时两针的夹角都是90，但在不同时刻，但在不同时刻.二、任意时刻两针的夹角二、任意时刻两针的夹角例例2 钟表上钟表上2时时15分时，时针与分针所形成的锐角的分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？度数是多少？分析分析 要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟分钟转过的角度即可转过的角度即可.解解 因为因为 2 30 67.5，1590，所以所以9067.522.5.评注：评注：通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟分针比时针多转了分针比时针多转了5.5，必要时可以利用方程求解，必要时可以利用方程求解此类问题，有时会显得更加简捷此类问题，有时会显得更加简捷.三、时针与分针分别转过的角度三、时针与分针分别转过的角度例例3 若时针由若时针由2点点30分走到分走到2点点55分，问时针、分针各分，问时针、分针各转过多大角度？转过多大角度？分析分析:弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.解解:因为时针由因为时针由2点点30分走到分走到2点点55分，历经分，历经25分钟，分钟，所以时针转过的角度为所以时针转过的角度为 (5530)6 25150，分针转过的角度为分针转过的角度为(5530)150 12.5.评注：评注：解答此类题目，抓住时针每分转解答此类题目，抓住时针每分转0.5，分针每，分针每分转分转6是求解的关键是求解的关键.1、时钟的时针、分针从一次重合到下一次重、时钟的时针、分针从一次重合到下一次重合需多长时间？合需多长时间？24小时之内可有多少次重合？小时之内可有多少次重合？2、时钟的时针和分针在、时钟的时针和分针在24小时之内可成多少小时之内可成多少次平角？成多少次直角？次平角？成多少次直角？【例题例题1】从钟表的从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间约（中间相隔的时间约（）A.43分钟分钟 B.45分钟分钟 C.49分钟分钟 D.61分钟分钟垂直时：时针与分针夹角是垂直时：时针与分针夹角是90重合时：时针与分针是重合时：时针与分针是360 追及距离：追及距离：270 速度差：速度差：5.5 追及时间追及时间=追及距离追及距离/速度差速度差=270/5.5 min=49 min成直线问题成直线问题【例题例题2】四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为（）（）A、4点点40分分 B、4点点45又又4/11分分C、4点点54又又6/11分分 D、4点点57分分【解析解析】4：00时刻，时针分针夹角为时刻，时针分针夹角为120，成直线角度为成直线角度为180所以分针还要相对时针多走所以分针还要相对时针多走300t=300/5.5=54又又6/11分分重合问题重合问题【例题例题3】从从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？【解析解析】第一次重合，分针要追时针第一次重合，分针要追时针180所以：追及时间所以：追及时间=追及距离追及距离/追及速度追及速度即：即：t=180/5.5=360/11=32又又8/11分分垂直问题垂直问题【例题例题4】在在4点与点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？点之间，时针与分针什么时候成直角？【解析解析】分两种情况：分两种情况：分针在时针之前分针在时针之前,4：00两针夹角为两针夹角为 120，垂直时，垂直时90 分针还需走分针还需走 30，则：则：30/5.5 min=5又又5/11min 即：即：4点零点零5又又5/11分时为直角分时为直角分针在时针之后分针在时针之后,分针还需走分针还需走120+90=210 210/5.5 min=38又又2/11min【习题习题】1、现在是下午、现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？合？2、分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和、分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？时针一昼夜重合几次？3、中午、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两点时，两针重合多少次？针重合多少次？4、在、在8时多少分，时针与分针垂直？时多少分，时针与分针垂直？5.钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转钟面上的时针和分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？过的度数是时针旋转度数的多少倍？时钟问题小结时钟问题小结基本思路：封闭曲线上的追及问题基本思路：封闭曲线上的追及问题关键问题关键问题确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差。确定分针与时针的路程差。基本方法：度数方法基本方法：度数方法公式：公式：【路程差（角度差）路程差（角度差）*2】/11时针和分针的速度差：时针和分针的速度差：5.5/min追及距离追及距离/速度差速度差=追及时间追及时间 （相当于行程问题中的同向运动）（相当于行程问题中的同向运动）