数字信号处理模拟题解答.doc

第一章
2、已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样相应为，试求系统的输出。
（2）
解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即：
4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。

解：

6、试判断系统的线性和移不变性。

解：

8、以下序列是系统的单位抽样响应，试说明系统的因果性和稳定性。
（4）
解：
因果性：当时，，是非因果的；
稳定性：，是稳定的。

11、有一理想抽样系统，抽样角频率为，抽样后经理想低通滤波器还原，其中

今有两个输入，。输出信号有无失真？为什么？
解：要想时域抽样后能不失真的还原出原始信号，则要求抽样频率大于2倍信号频谱的最高频率，即满足奈奎斯特抽样定理。
根据奈奎斯特定理可知：

第二章
1、求以下序列的变换，并求出对应的零极点和收敛域。
（1）
解：由Z变换的定义可知：

2、假如的变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？

解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得

X(z)的零点为：1/2 ， 极点为： j/2 , -j/2 , -3/4
∴ X(z)的收敛域为：
(1) 1/2 < |z | < 3/4 , 为双边序列
(2) | z | < 1/2  ,  为左边序列
   (3) |z | > 3/4 ， 为右边序列

6. 有一信号,它与另两个信号和的关系是：

其中，，已知，，
解：根据题目所给条件可得：

而

所以

12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统

(1) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；
(2) 求此系统的单位抽样响应；
(3) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：
（1）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：

所以
零点为z=0，极点为

因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
（2）

由于的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。
（3）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选的
收敛区域为 ，即 ，则

中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。

13、研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满足 ，并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。
解：
对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取
利用第十二题(3)的结果
即可求得

第三章
1、如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

计算求得：

3.设。令试求的圆周卷积并作图。
解：在一个周期内的计算值

如下图所示：

8、如下图表示一个5点序列。
（1）试画出；
（2）试画出；
（3）试画出。
解：由图可知
则（1）线性卷积为

　 1 0 2 1 3
1 0 2 1 3
3 0 6 3 9
1 0 2 1 3
2 0 4 2 6
1 0 2 1 3
1 0 4 2 10 4 13 6 9
故，={1, 0, 4, 2, 10, 4, 13, 6, 9; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(2) 利用圆周卷积是线性卷积以5点位周期的周期延拓序列的主值序列，故
=1+4=5； =0+13=13；
=4+6=10；=2+9=11；
=⑤={5,13,10,11,10;n=0,1,2,3,4}
(3) 当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度时，两者相等，故
={1,0,4,2,10,4,13,6,9,0;
n=0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

14、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。
解：（1）
因此最小记录长度为0.1s；
（2）

所以允许处理的信号的最高频率为5KHz；
（3），又因为抽样点数必须为2的整数幂，因此记录的最少点数为

第四章
1、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us，每次复加0.5us，用它来计算512点DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。
解：(1)直接计算:
复乘所需时间：

复加所需时间：

(2)用FFT计算：
复乘所需时间：

复加所需时间：

2、（1）画出4点基2频率抽取IFFT的运算流图；
（2），基于该运算流图，试计算的值。
解：（1）（6分）4点基2频率抽取IFFT的运算流图如下图所示。

（2）（6分）由图可得，

故，

第五章
1、用直接I型及典范型结构实现以下系统函数：

解：
∵
∴,，，
直接I型结构如下图所示：

典范型结构如下图所示：

7、设某FIR数字滤波器的系统函数为：

试画出此滤波器的线性相位结构。
解：FIR线性相位滤波器满足，即对呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。
则由已知得：

则
即是偶对称，对称中心在处，为奇数。
线性相位结构如下图所示：

第六章
1、以下线性移不变系统哪一个是最小相位延时系统？

解：最小相位延时系统是指系统函数的极点、零点均在单位圆内的系统。
故（A）是最小相位延时系统
（A） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：1/4(二阶)，故是最小相位延时系统
（B） 极点是：-3, -4; 零点是：4(二阶)，故不是最小相位延时系统
（C） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：4(二阶)，故不是最小相位延时系统
(D) 极点是：-3, -4; 零点是：1/4(二阶)，故不是最小相位延时系统
2、用冲激响应不变法将以下 变换为 ，抽样周期为T
(1)。
解：由已知得

由冲激响应不变法可得：

则

3、设有一模拟滤波器

抽样周期T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数。
解：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为。
由变换公式，及可得：
T = 2时：

第七章
1、已知FIR数字滤波器的两个零点为2+j、0.5，试求出其它零点。
解： 2+j对应的零点为：2-j，，
0.5对应的零点为：， 即：2
2、用横截型结构实现以下系统函数：
解：

3、已知一个线性相位FIR系统有零点，这个系统的冲激响应的最小长度为多少？
解：
由已知的零点，可以知道与之成组的其他零点：

如果的长度为N,那么该系统共有N-1个零点，反之亦然。现在已知该系统的零点连导出的共9个，因此的长度最少为10.
4、（20分）设某FIR滤波器的系统函数为，
（1）求该FIR滤波器的单位抽样响应；
（2）判断该FIR滤波器是否具有线性相位特性；
（3）求该FIR滤波器对应的差分方程；
（4）求该FIR滤波器的幅频特性和相位特性；
（5）画出该FIR数字滤波器的直接型结构和线性相位型结构。
解：（1）（3分）FIR滤波器的单位抽样响应为：

（2）（3分）基于的表达式，可知： h(0) = 1; h(1) = 0.5; h(2) = 0; h(3) = -0.5; h(4) = -1
即是N=5的FIR滤波器的单位抽样响应，且满足
故该FIR滤波器具有线性相位特性。
（3）（3分）根据系统输出与系统输入和单位抽样响应的关系，有

（4）（5分）系统函数在单位圆上的取值，就是该系统的频率响应

故：幅频特性为：
相位特性为：

（5）（6分）该FIR数字滤波器的直接型结构如下图

线性相位型结构如下图：

5.（20分）设FIR滤波器的系统函数为
（1）求出该FIR滤波器的单位取样响应；
（2）判断该FIR滤波器是否具有线性相位特性；
（3）求该FIR滤波器的幅频特性和相位特性，并画出其幅频特性曲线；
（4）画出该FIR数字滤波器的直接型结构、线性相位型结构。
解：（1）对FIR数字滤波器，其系统函数为

由系统函数可知单位脉冲响应为

（2）由的取值可知满足

所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。
（3）（8分）设其频率响应函数为

幅度特性函数为
相位特性函数为

其幅频特性曲线如图所示：
（4）直接型结构： （3分）

线性相位结构：

其它思考题
1. 因果稳定数字系统的极点分布有什么特点
2. 序列傅里叶变换（DTFT）与Z变换的联系
3. 有那四种不同信号的谱分析，其频谱有什么不同特点
4. 减少DFT计算的途径有哪些
5. 因果系统、非因果系统、最小相位、最大相位系统零极点的分布有何特点
6. 何谓IIR，FIR滤波器，各自的优缺点是什么
7. FIR滤波器具有线性相位的充要条件是什么，其零点分布有什么特点
8. IIR滤波器设计的冲击响应不变法和双线性变换法的最大不同是什么
9. 窗函数设计FIR滤波器，滤波器参数和窗函数的关系

第一章：
2. (2)，4. (1)，7. (4)，8. (4)，11.
第二章：
1. (1)，2. ，6.，7. (6)，12.，13
第三章：
1，3，8，14， 15(1), 16(2)， 22
第四章：
1，3
第五章：
1，2，3，4，7
第六章：
1（1），3
第七章：

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