圆形有界磁场中“磁聚焦”规律[有答案及解析].doc

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圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】
1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=−2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A（−2l0，−l0）点到C（−2l0，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。从A点射入的粒子恰好从y轴上的（0，−l0）点沿沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。
（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。
（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？
（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（，单位：m）和直线DH（，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=1×10-6 kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4 C，速率均为20m/s的带负电的粒子从处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。
（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；
（2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；
（3）通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（，）、（，）的两点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。
（2）粒子M击中感光板的位置坐标。
（3）粒子N在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1。虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。B1，B2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计）。求：
（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。
（3）试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

8．如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0×10−3T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：
（1）粒子M进入电场时的速度。
（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N，最后打到荧光屏上,画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示,质量m=8.0×10−25kg，电荷量q=1.6×10−15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(π=3.14)求：
（1）粒子从y轴穿过的范围。
（2）荧光屏上光斑的长度。
（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。

参考答案
1．当v⊥B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为、的匀速圆周运动；只要速度满足时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，选项D正确。
2．由知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa入射的粒子，出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be，由于边界无磁场，将沿be做匀速直线运动到达b点；选项D正确。
3．解析：（1）当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；
由知：
（2）从A点进入电场后作类平抛运动；
沿水平方向做匀加速直线运动：
沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0；
∴粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：
（3）粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从P点的出射方向与OO1平行，即与y轴平行；轨迹如图所示；
∴粒子从O到P所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O到P用时：。
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离；
粒子在电场中做匀变速运动的时间：；
粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：；
粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，ＰO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为（2a，0）点；粒子由P到Q所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P到Q用时：；
∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：。
4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有
从A点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知
解得
（2）设距C点为处入射的粒子通过电场后也沿x轴正方向，第一次达x轴用时，有
水平方向
竖直方向
欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x轴正方向，有 （n =1，2，3，…）
解得：
即在A、C间入射的粒子通过电场后沿x轴正方向的y坐标为 （n =1，2，3，…）
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为
当n=2时，粒子射出的坐标为
A
O
x
y
v0
E
E
C′
A′
x=－2l0
C
x=2l0
O1
O2
P
Q
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的距离为；
则磁场的最小半径为
若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），
轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形，由 得：
5．解析：（1）由知：
（2）考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K点离开磁场，O1和O2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O1AO2K为菱形，离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x轴，得证。
（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y1）,离开电场时的坐标为（x，y2）,离开电场时速度为v2；
在电场中运动过程，动能定理：
其中， 解得v2=100x
在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有 解得R2=x
因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上；又因v2的方向与DH成45º，且直线HD与y轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为（0，–0.425）。
6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得 解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有，又有，解得
因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场Ⅳ，再运动四分之一个周期后平行于x轴正方向离开磁场，进入电场Ⅱ后做类平抛运动。
假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，则
M在电场Ⅱ中运动的的时间（1分）
沿电场方向的位移
（2分）
假设成立，运动轨迹如图所示。
沿电场方向的速度
速度的偏向角
设射出电场Ⅱ后沿x轴方向的位移x1，有
M击中感光板的横坐标，位置坐标为（2L，0） （1分）
（3）N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场Ⅲ，从原点O离开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从d点离开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ。轨迹如图。
在磁场Ⅲ中，由几何关系
则θ=300，圆弧对应的圆心角φ=1800−300=1500
粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场Ⅲ中运动的时间
由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等；
故粒子在磁场中运动的时间

7．解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有
解得
粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有
解得
由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即
（2）撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有
水平方向匀加速
竖直方向匀速
从y轴出电场的坐标为
（3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与x轴成θ角，粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界。进入正交电磁场E、B2中都有故做直线运动。
8．解析：（1）由沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m。
粒子M在磁场中匀速圆周运动有：
解得
（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。
在电场中运动的加速度大小
穿出电场的竖直速度
速度的偏转角
在磁场中从P点穿出时距O点的竖直距离
在电场中运动沿电场方向的距离
射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上
最好达到荧光屏上的竖直坐标
故发光点的位置坐标（2m，−0.1875m）
9．解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有 解得
当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m；且圆形磁场的圆心在y轴上O点正上方，如图所示的O1点。
（1）初速度沿y轴正方向的粒子直接从原点穿过y轴；
初速度与x轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则∠OO2B=1500；设此粒子从y轴上的A点穿过y轴，由几何关系知∠OAO2=300，则有。
粒子从y轴穿过的范围为。
（2）初速度沿y轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P点，有；
初速度与x轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的Q点，有；
荧光屏上光斑的长度
（3）粒子在磁场中运动的周期
打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子运动的时差间
（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B到C的边界无磁场分布。
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