两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版).doc

(完整版)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【最新考纲】　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3。会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4.能利用两角和（差）、二倍角公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsin_β;
(2）cos（α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β;
(3)tan（α±β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
（3)tan 2α＝．
3．有关公式的变形和逆用
（1)公式T（α＋β）的变形:
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β);
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2）公式C2α的变形：
①sin2α＝（1－cos_2α）；
②cos2α＝（1＋cos_2α)．
(3）公式的逆用
①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；
②sin α±cos α＝sin。
4．辅助角公式
ɑsin α＋bcos α＝sin(α＋φ）（其中tan φ＝）．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×"）
（1)存在实数α，β,使等式sin（α＋β）＝sin α＋sin β成立．(　　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)
（3）公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　）
（4）公式ɑsin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a,b的值无关．（　　）
答案:（1)√　(2）×　（3）×　（4)×
2．（2015·课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
解析:sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝.
答案：D
3．（经典再现）已知sin 2α＝，则cos2（α＋）＝(　　)
A. B。 C. D.
解析：∵sin 2α＝,∴cos2＝
＝＝＝.
答案：A
4．（2015·重庆卷)若tan α＝,tan（α＋β）＝,则tan β＝（　　)
A. B. C. D.
解析：tan β＝tan[（α＋β）－α］＝
＝＝。
答案：A
5．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________．
解析：由（1＋tan α）（1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan（α＋β)＝.
又α＋β∈（0，π)，所以α＋β＝.
答案：

一点注意
三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．
两个技巧
1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β），α＝（α＋β)－β,β＝－，＝－。
2．化简技巧：切化弦，“1"的代换等．
三种变化
1．变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．
2．变名:尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．
3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．

一、选择题
1．若sin＝,则cos α＝（　　）
A．－　　　B．－　　　C.　　　D.
解析：cos α＝1－2sin2＝1－2×＝。
答案：C
2.＝(　　)
A. B。 C．2 D.
解析:原式＝＝＝2.
答案:C
3．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝（　　）
A。 B。 C。 D。
解析：由sin α＋cos α＝
得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，
所以sin2＝＝＝. 答案：B
4．已知α∈，且cos α＝－，则tan等于(　　)
A．7 B. C．－ D．－7
解析:因α∈，且cos α＝－，
所以sin α＜0，即sin α＝－,所以tan α＝.
所以tan＝＝＝。
答案：B
5．已知sin α＝，sin(α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（　　）
A。 B. C. D.
解析:∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜。
又sin（α－β)＝－，∴cos（α－β)＝。
又sin α＝，∴cos α＝,
∴sin β＝sin[α－（α－β）］＝sin αcos(α－β)－cos αsin（α－β)＝×－×＝。
∴β＝. 答案:C
二、填空题
6．若sin＝,则cos 2θ＝________．
解析:∵sin＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－。
答案:－
7．(2014·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析:原式＝sin 2x＋＝sin＋,
∴周期T＝＝π。
答案:π
8．(2014·课标全国Ⅱ卷)函数f（x)＝sin（x＋2φ)－2sin φcos（x＋φ)的最大值为________．
解析：∵f（x）＝sin(x＋2φ）－2sin φcos(x＋φ）＝sin[（x＋φ)＋φ］－2sin φcos(x＋φ）＝sin（x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ）＝sin（x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin［(x＋φ)－φ］＝sin x，
∴f(x）的最大值为1.
答案：1

9．设函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导数，若f（x）＝2f′(x），则＝________．
解析：f′（x)＝cos x－sin x，由f(x)＝2f′（x)得
sin x＋cos x＝2cos x－2sin x，∴cos x＝3sin x,
于是＝
＝＝－。 答案:－
三、解答题
10．已知α∈,且sin＋cos＝.
(1）求cos α的值；
(2）若sin（α－β）＝－,β∈，求cos β的值．
解：（1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得
sin α＝。又＜α＜π，所以cos α＝－.
(2）因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－π＜－β＜－,故－＜α－β＜。
又sin（α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos［α－(α－β）]＝cos αcos(α－β）＋sin αsin(α－β）
＝－×＋×＝－。
11．(郑州质检)已知函数f（x)＝.
(1）求函数f（x)的定义域；
（2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α）的值．
解析：(1)要使f（x）有意义,则需cos x≠0,
∴f（x)的定义域是。
（2）f(x)＝
＝＝
＝2（cos x－sin x）．
由tan α＝－，得sin α＝－cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，且α是第四象限角,
∴cos2α＝，则cos α＝,sin α＝－。
故f(α）＝2（cos α－sin α）＝2＝。

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