高数1全套公式.doc

一、三角函数
1．公式
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
   sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系：   
tanα=sinα/cosα   cotα=cosα/sinα
·倒数关系：   
tanα·cotα=1;   sinα·cscα=1;   cosα·secα=1   
三角函数恒等变形公式：
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2．特殊角的三角函数值

0

1

0

0

1

0

1

不存在

不存在

1

0

只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值1。
1

1

1
2

3诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
记忆规律：　竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割　
即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）

二、一元二次函数、方程和不等式

无实根

三、因式分解与乘法公式

四、等差数列和等比数列

五、常用几何公式

平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2(a+b)
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2
S＝ah/2
 ＝ab/2·sinC
 ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
 ＝a2sinBsinC/(2sinA)
平行四边形
a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角
S＝ah
 ＝absinα
菱形
a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长
S＝Dd/2
 ＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长
S＝(a+b)h/2
 ＝mh
圆
r－半径
d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
 ＝πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径
S＝π(R2-r2)
 ＝π(D2-d2)/4
椭圆
D－长轴
d－短轴
S＝πDd/4

立方图形
名称
符号
表面积S和体积V
正方体
a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体
a－长
b－宽
c－高
S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
圆柱
r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底= Ch+2πr2
V＝S底h ＝πr2h
圆锥
r－底半径
h－高
V＝πr2h/3
球
r－半径
d－直径
V＝4/3πr3
＝πd3/6
S=4πr2
＝πd2

基本初等函数
名称
表达式
定义域
图 形
特 性

常
数
函
数

y
C

0 x

幂
函
数

随而异，但在上
均有定义

过点(1，1);
时在
单增；
时在
单减．

指
数
函
数

．
过点．
单增．
单减．

对
数
函
数

过点．
单增．
单减．

正
弦
函
数

奇函数．
．
．

余
弦
函
数

偶函数．
．
．

正
切
函
数

奇函数．
．
在每个周期
内单增

余
切
函
数

,

奇函数．
．
在每个周期
内单减．

反
正
弦
函
数

奇函数．
单增．
．

反
余
弦
函
数

单减．
．

反
正
切
函
数

奇函数．
单增．
．

反
余
切
函
数

单减．
．
极限的计算方法
一、初等函数：

二、分段函数：
基本初等函数的导数公式
(1) ，是常数
(2)
(3) ，特别地，当时，
(4) ， 特别地，当时，
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)

基本初等函数的微分公式
(1)、(为常数)；
(2)、(为任意常数)；
(3)、，特别地，当时，；
(4)、，特别地，当时，；
(5)、；
(6)、；
(7)、；
(8)、；
(9)、；
(10)、；
(11)、；
(12)、；
(13)、；
(14)、．
曲线的切线方程

幂指函数的导数

极限、可导、可微、连续之间的关系

极限
连续
可导
可微

条件A 条件B，A为B的充分条件
条件B 条件A，A为B的必要条件
条件A 条件B，A和B互为充分必要条件
边际分析
边际成本 MC =；边际收益 MR =；
边际利润 ML =，= MR—MC
弹性分析
在点处的弹性，
特别的，需求价格弹性：
罗尔定理
若函数满足： (1) 在闭区间连续；
(2) 在开区间可导；
(3) ，则在内至少存在一点，使．

拉格朗日定理
设函数满足:
(1) 在闭区间连续；
(2) 在开区间可导，
则在上至少存在一点，使得 ．
基本积分公式
(1)
(2) 　特别地：
(3)
(4) 　　（有时绝对值符号也可忽略不写）
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13) （或）
(14) （或）
(15) ，
(16) ，
(17) ，
(18) ，
(19) ，，
(20) ，，
(21) ，，
(22) ，．
常用凑微分公式
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
(5)、
(6)、
(7)、
(8)、
(9)、
(10)、
(11)、
(12)、

一阶线性非齐次微分方程的通解为

平面图形面积的
计算公式

1)区域D由连续曲线
和直线x=a,x=b围成,其中　　　　　　　　　　
（右图）

2)区域D由连续曲线
和直线x=c,x=d围成,其中　　　　　　　　　　
（右图）

平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式

1 、绕x轴的旋转体体积（右图）

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

2、绕y轴的旋转体体积（右图）

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

由边际函数求总函数

总利润函数为。

多元复合函数的导数公式
设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x，y)的偏导数

两个特例：
z = f (u, v)，：
z = f (u)，u = u (x, y)：
隐函数导数公式

二元方程所确定的隐函数：
三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数：，
1.确定函数定义域的主要依据：
(1)当f(x)是整式时，定义域为R；
(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；
(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；
(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围；
(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合；
(6)正切函数的定义域是{}；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；
(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.
2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.
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