带电粒子在复合场中的运动问题试卷.doc

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高频考点专项练(八)
带电粒子在复合场中的运动问题试卷
(45分钟　100分)
计算题(本题共6小题,共100分。需写出规范的解题步骤)
1.(15分)(2014·大纲版全国卷)如图,在第一象限存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直于纸面(xy平面)向外;在第四象限存在匀强电场,方向沿x轴负向。在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子,该粒子在(d,0)点沿垂直于x轴的方向进入电场。不计重力。若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ,求：
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值。
(2)该粒子在电场中运动的时间。
【解题指南】解答本题可以从以下三个方面分析：
(1)不计重力的粒子在磁场中做什么运动,题中是否隐含给出了粒子运动的半径。
(2)粒子在电场中做什么运动,加速度与电场强度和电荷的电量有什么关系。
(3)粒子进入电场时的速度、粒子在电场中速度的变化量和θ角三者有什么关系。
【解析】(1)如图,粒子进入磁场后做匀速圆周运动。

设磁感应强度的大小为B,粒子的质量与所带电荷量分别为m和q,圆周运动的半径为R0,由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
qv0B=m　 ①
由题给条件和几何关系可知R0=d　 ②
设电场强度的大小为E,粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度为ax,在电场中的运动时间为t,离开电场时沿x轴负方向的速度大小为vx。
由牛顿第二定律得Eq=max　 ③
vx=axt　 ④
t=d　 ⑤
由于粒子在磁场中做类平抛运动(如图),有
tanθ=　 ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
=v0tan2θ
(2)联立⑤⑥式得t=
答案：(1)v0tan2θ　(2)
2.(18分)(2015·哈尔滨模拟)如图所示,在xOy平面内y轴与MN边界之间有沿x轴负方向的匀强电场,y轴左侧和MN边界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场,MN边界与y轴平行且间距保持不变。一质量为m、电荷量为-q的粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场,每次经过磁场的时间均为t0,粒子重力不计。

(1)求磁感应强度的大小B。
(2)若t=5t0时粒子回到原点O,求电场区域的宽度d和此时的电场强度E0。
(3)若带电粒子能够回到原点O,则电场强度E应满足什么条件?
【解析】(1)粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,
粒子每次经过磁场的时间为半个周期,则T=2t0,解得B=。
(2)粒子t=5t0时回到原点,轨迹如图所示,由几何关系有r2=2r1,

由向心力公式有qBv0=m,qBv2=m,
电场宽度d=t0,解得d=v0t0。
又v2=v0+t0,解得E0=。
(3)如图所示,由几何关系可知,要使粒子经过原点,则应满足
n(2r′2-2r1)=2r1(n=1,2,3……)

由向心力公式有qBv2′=m,解得v′2=v0,
根据动能定理有qEd=mv-m,
解得E=(n=1,2,3……)
答案：(1)　(2)v0t0　
(3)E=(n=1,2,3……)
3.(17分)在xOy平面内,第Ⅲ象限内的直线OM是电场与磁场的边界,OM与x轴负方向成45°角。在x<0且OM的左侧空间存在着沿x轴负方向的匀强电场,场强大小为E=50N/C,在y<0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B=0.2T,如图所示。不计重力的带负电的微粒,从坐标原点O沿y轴负方向以v0=4×103m/s的初速度进入磁场,已知微粒的带电荷量为q=-4×10-18C,质量为m=1×10-24kg。求：
(1)带电微粒第一次经过磁场边界时的位置坐标及经过磁场边界时的速度方向。
(2)带电微粒最终离开电、磁场区域时的位置坐标。
(3)带电微粒在电、磁场区域运动的总时间(结果可以保留π)。
【解题指南】解答该题的思路顺序：
(1)用左手定则判断带负电微粒在洛伦兹力作用下怎样偏转,在过OM时的方向比较重要。
(2)微粒第一次进入匀强电场做“类竖直上抛”运动。
(3)微粒再回到磁场,又做匀速圆周运动。
(4)第二次进入匀强电场做“类平抛运动”。
【解析】(1)微粒运动轨迹如图所示。微粒第一次经过磁场边界上的A点,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：

qv0B=m
解得：r==5×10-3m
A点位置坐标为(-5×10-3m,-5×10-3m)
经过磁场边界时速度方向与OM夹角为45°,与电场平行。
(2)微粒从A点进入电场后做类竖直上抛运动,再以同样大小的速度反向进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,微粒从C点沿y轴正方向进入电场,做类平抛运动a=,
解得：a=2.0×108m/s2　Δx=a=2r
解得：t1=1×10-5s　Δy=v0t1
代入数据解得Δy=0.04m
y=Δy-2r=(0.04-2×5×10-3)m=3.0×10-2m
离开电、磁场时的位置D的坐标为(0,3.0×10-2m)
(3)带电微粒在磁场中运动的周期T=
在磁场中运动的时间t2=tOA+tAC=T+T
代入数据解得：t2=T=×10-5s
带电微粒第一次进入电场中做直线运动的时间
t3=2=4.0×10-5s
带电微粒在电、磁场区域运动的总时间
t=t1+t2+t3=(5+)×10-5s
答案：(1)(-5×10-3m,-5×10-3m)　与电场平行
(2)(0,3.0×10-2m)　(3)(5+)×10-5s
4.(16分)如图所示,竖直平面坐标系xOy的第一象限,有垂直xOy平面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场,大小分别为B和E;第四象限有垂直xOy平面向里的水平匀强电场,大小为2E;第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道,轨道最高点与x轴相切于坐标原点O,最低点与绝缘光滑水平面相切于N。一质量为m的带电小球从y轴上(y>0)的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动,恰好通过坐标原点O,且水平切入半圆轨道并恰好沿轨道内侧运动,过N点水平进入第四象限,并在电场中运动(已知重力加速度为g)。
(1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量。
(2)P点距坐标原点O至少多高?
(3)若该小球以满足(2)中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限,通过N点开始计时,经时间t=2,小球距N点的距离s为多远?
【解析】(1)小球进入第一象限正交的电场和磁场后,在垂直磁场的平面内做圆周运动,说明重力与电场力平衡,qE=mg　 ①
得q=　 ②
小球带正电
(2)小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,设匀速圆周运动的速度为v,半径为r
有：qvB=m　 ③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动,有：
mg=m　 ④
由②③④得：r=　 ⑤
PO的最小距离为Y=2r=2　 ⑥
(3)小球由O运动到N的过程中机械能守恒：
mg·2R+mv2=m　 ⑦
由④⑦得：vN=　 ⑧
根据运动的独立性可知,小球从N点进入电场区域后,在x轴方向以速度vN做匀速直线运动,沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动,则沿x轴方向有：
x=vNt　 ⑨
沿电场方向有d=at2　 ⑩
a===2g
t时刻小球距N点的距离：s==6R
答案：(1)小球带正电　　(2)　(3)6R
5.(16分)如图甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E=40N/C。在y轴左侧平面内有足够大的磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示(不考虑磁场变化所产生电场的影响),15πs后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向。在y轴右侧平面内分布一个垂直纸面向外的圆形匀强磁场(图中未画出),半径r=0.3m,磁感应强度B2=0.8T,且圆的左侧与y轴始终相切。T=0时刻,一质量m=8×10-4kg、电荷量q=+2×10-4C的微粒从x轴上xP=-0.8m处的P点以速度v=0.12m/s沿x轴正方向射入,经时间t后,从y轴上的A点进入第一象限并正对磁场圆的圆心。穿过磁场后击中x轴上的M点。(g取10m/s2、π=3,最终结果保留2位有效数字)求：

(1)A点的坐标yA及从P点到A点的运动时间t。
(2)M点的坐标xM。
(3)要使微粒在圆形磁场中的偏转角最大,应如何移动圆形磁场?请计算出最大偏转角。
【解析】(1)F电=qE=8×10-3N=mg
所以微粒做匀速圆周运动
qvB1=m,R1=0.6m
周期T==10πs
0～5πs匀速圆周运动半径R1<|xP|
微粒运行半个圆周后到点C：
xC=-0.8m,yC=2R1=1.2m
5π～10πs向左做匀速运动,位移大小
s1=v=m=1.8m
运动到D点：xD=-2.6m,yD=1.2m
10π～15πs微粒又做匀速圆周运动,运动到E点：
xE=-2.6m
yE=4R1=2.4m
此后微粒做匀速运动到达A点：yA=4R1=2.4m
轨迹如图所示

从P到A的时间：t=15π+tEA(或者t=2T+)
所以t≈67s
(2)微粒进入圆形磁场做匀速圆周运动的半径为
R2==0.6m
设轨迹圆弧对应的圆心角为θ,则tan==
M点：xM=r+=(0.3+)m
由数学知识可得：tanθ==
所以xM=2.1m
(3)微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大,必须满足入射点与出射点连线为磁场圆的直径,则圆形磁场应沿y轴负方向移动0.15m,因为R2=2r,
所以最大偏转角为θ′=60°。
答案：(1)2.4m　67 s　(2)2.1 m　(3)沿y轴负方向移动0.15m　60°
6.(18分)匀强电场和匀强磁场关于y轴对称分布,在如图所示的直角坐标系中,电场和磁场宽度均为L,四个电场区域电场强度大小相等,磁场区域磁感应强度大小也相等,电场和磁场方向如图所示,在A(-1.5L,L)处电荷量为+q、质量为m的粒子,从t=0时刻起以速度v0沿x轴正方向射出,粒子刚好从C(-0.5L,0)点进入磁场,并从D(0.5L,0)点射出磁场而进入电场,不计粒子的重力及电场或磁场的边缘效应,求：

(1)电场强度E的大小。
(2)磁感应强度B的大小。
(3)粒子从射入电场到射出电场所用的时间。
【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动
垂直电场方向L=v0t
沿着电场方向L=at2
根据牛顿第二定律qE=ma
解得E=
(2)在磁场中运动洛伦兹力提供向心力qvB=m
粒子进入磁场时的速度v=
由几何关系,得=(n=1,2,3…)
解得B=(n=1,2,3…)
(3)粒子在电场中的运动时间
t1=2t=2
粒子在磁场中的运动周期T=
粒子在磁场中的运动时间t2=n·T
由几何关系,得tanθ=
粒子从射入电场到射出电场所用的时间
t=t1+t2=
答案：(1)　(2)(n=1,2,3…)
(3)
【加固训练】如图所示,在坐标系xOy中,y轴右侧有一匀强电场;在第二、三象限内有一有界匀强磁场,其上、下边界无限远,右边界为y轴,左边界为平行于y轴的虚线,磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。一带正电,电量为q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域,并从O点射出,粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ=45°,大小为v。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧,且弧的半径为磁场左右边界间距的倍。粒子进入电场后,在电场力的作用下又由O点返回磁场区域,经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响,求：
(1)粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离。
(2)匀强电场的大小和方向。
(3)粒子从第二次离开磁场到再次到达磁场所用的时间。
【解析】(1)如图所示,设磁场左边界与x轴相交于D点,过O点作速度v的垂线OO1,与MN相交于O1点,由几何关系可知,在直角三角形OO1D中∠OO1D=45°,设磁场左右边界间距为d,则OO1=d。粒子第一次进入磁场的运动轨迹的圆心即为O1点,圆弧轨迹所对的圆心角为45°,且O1A为圆弧的半径R,由此可知,粒子自A点射入磁场的速度与左边界垂直。

A点到x轴的距离：=R(1-cos45°) ①
由洛伦兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律,得：qvB=　 ②
联立①②式得：
=(1-)　 ③
(2)依题意：匀强电场的方向与x轴负向夹角应为45°。
设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T,第一次在磁场中飞行的时间为t1,有：t1=　 ④
T=　 ⑤
由几何关系可知,粒子再次从O点进入磁场的速度方向与磁场右边夹角为45°。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为O2,O2必定在直线OO1上。设粒子射出磁场时与磁场右边界交于P点,则∠OO2P=90°。设粒子第二次进入磁场在磁场中运动的时间为t2,有：t2=T　 ⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为t3,依题意得：
t3=T-(t1+t2)　 ⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知：
-v=v-at3　 ⑧
a=　 ⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨可得：E=Bv　 ⑩
电场方向与x轴负向成45°角,由第一象限指向O点
(3)由几何关系可得：∠OPO2=45°
故粒子自P点射出后将做类平抛运动,则沿电场方向做匀加速运动：s1=at2　
⑪
垂直电场方向做匀速直线运动：s2=vt　 ⑫
tan45°=　 ⑬
联立⑨⑩⑪⑫⑬式得：t=
答案：(1)与左边界垂直向右　(1-)
(2)Bv,与x轴负向成45°角　(3)
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