正弦定理教学案例.doc

教 学 案 例（一）

一节未按教学设计完成的课
（正弦定理）

汾西一中

刘

惠

文

正弦定理教学案例
汾西一中 刘惠文
一、背景介绍
结合新课标课改的精神和我校“以人为本”的教育理念的指导，高中数学教学不仅仅局限于接受、记忆、模仿和练习，更应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程。
2013年4月29日上午第一节在高二227班（重点班）讲的示范课，正弦定理第一课时。本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。本节教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
1、设计思想
根据实际教学处理，本节课采用探究式课堂教学模式，辅以讨论法以及多媒体演示法。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容。分为三个阶段：第一阶段教师通过引导学生学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二阶段由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中；边角的关系的验证，通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三阶段利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
2、学情分析
对普通高一的学生来说，在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修4 ，学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换以及平面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。 但学生对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度。而且学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，教学中以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、类比法、接受法、练习法为辅。
3、出现状况
讲课中，第一阶段的引导、、猜想顺利完成，第二阶段由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中；边角的关系的验证，通过“作高法”、 “向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，也完成了 。本来一句“大家还有其他的证明方法吗？”
再来一句“还有很多，有兴趣的同学下去试一试。”就往下讲第三阶段了，但是……
二、教学片段
上面我们结合实例，引出正弦定理的构造==，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
1、探索发现猜想
老师：我们先通过特殊例子检验==是否成立，举出特例，给学生指明一个方向。
如图一的第一个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=∠C=60o，对应的边长a：b：c=1，对应角的正弦值分别为，，；引导学生考察，，的关系
学生1：:它们相等，都是
如图一的第二个图中，在ΔABC中，∠A=∠B=45o，∠C=90o，对应的边长a=b=1，c=，对应角的正弦值分别为，，1；
学生2：:它们相等，都是
如图一的第三个图中，在 ΔABC中，∠A，∠B，∠C分别为30o，60o，90o，对应的边长a=1，b=，c=2，对应角的正弦值分别为，，1；
学生3：:它们相等，都是2
老师：下面我们考虑任意的Rt△ABC，结论如何？
学生4：思考交流得出，如图2，在RtΔABC中，
设BC=a,AC=b,AB=c,
则有sinA=, sinB=,又sinC=1=,
则===c
从而在直角三角形ABC中，==
老师：更进一步，对于任意三角形是否有==呢？
学生按事先安排分组，让学生阅读，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算。）
学生：分组互动，每组画一个三角形，席量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。
老师：放映利用《几何画板》制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化， 比值：，，的值都会相等。
我们猜想：==
设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
2、探索证明定理
老师：我们通过验证知道结论成立，那么对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。
学生5：在三角形中，如图3设BC=a，CA=b,AB=c
作：AD⊥BC，垂足为D
在RtΔABD中，sinB=
∴AD=AB·sinB=c·sinB
在RtΔADC中，sinC=
∴AD=AC·sinC=b·sinC
∴c·sinB=b·sinC
∴=
同理，在ΔABC中，=∴==
学生6：不对，如果是钝角三角形，就不对，如图4
老师：( ^_^ )不错嘛，由于钝角三角形与锐角三角形的高位置不同，得重新考虑，那么同学6说一说你的证明方法。
学生6： 在钝角三角形中，如图4设∠C为钝角，BC=a,CA=b,AB=c作AD⊥BC交BC的延长线于D，在RtΔADB中，sinB=
∴AD=AB·sinB=c·sinB,
在RtΔADC中，sin∠ACD=
∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB
∴c·sinB=b·sin∠ACB
∴=
同锐角三角形证明可知=
∴==
3、深入探讨研究
老师：我们把这条性质称为正弦定理。在向量中，我也学过·=··cosθ,这与边的长度和三角函数值有较这密切的联系，是否能够利用向量来证明正弦定理？师生共同复习利用向量数量积解决数学问题的方法：先找向量等式，再同乘某一向量来处理。
学生7：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形ΔABC中，＋=，作单位向量垂直于AC，·=·＋·
即0∴=c·cos(90o-A)＋a·cos(90o-C)
∴c·sinA-a·sinC=0
∴=
∴==（图5）
对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。
老师：大家还有其他的证明方法吗？
（本来这节课准备到此为止，讲例题，可有学生亟不可待的站起来。）
学生8：可借助初中所学过的面积公式和三角函数知识思考得出。
老师：很好，你上来给咱们证明一下。
学生8讲解：如图6，对于任意ΔABC，由初中所学过的面积公式可以得出：SΔABC=AC·BD=CB·AE=BA·CF，而由图中可以看出：
sin∠BAC=,sin∠ACB=,sin∠ABC=,
∴BD=AB·sin∠BAC,AE=AC·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC
∴SΔABC=AC·BD=CB·AE
=BA·CF
=AC·AB·sin∠BAC
=CB·CA·sin∠ACB
=BA·BC·sin∠ABC
=b·c· sin∠BAC
=a·b· sin∠ACB
=c·a· sin∠ABC
等式b·c· sin∠BAC=a·b· sin∠ACB=c·a· sin∠ABC
中均除以abc后可得
==
即==。
（讲到此，我突然发现可讲在高中最常见的三角形面积公式：SΔABC =absinC）
老师：在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE=c· sin∠ABC
=a· sin∠ABC,三角形的面积：SΔABC=a·AE，能否得到新面积公式。
学生9：我见过，SΔABC=a·AE c·a·sin∠ABC得到三角形面积公式
SΔABC =absinC=casinB=bcsinA
（既然课上的这儿，那就不如往下讲正弦定理的完整公式===2R）
老师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？
学生讨论，不知道该如何处理。
老师提示先考虑RtΔABC中
学生10：在前面的检验中，RtΔABC中，（图7）
===c,c是斜边。（此时及时提醒：斜边c在直角三角形中恰可做为三角形外接圆的直径。）
老师：那么对于一般三角形呢？这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？
学生讨论了半天，
学生11：好像应该是：k=c=2R，即正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R
老师：如何证明呢？学生讨论激烈，老师参与并提示、引导先画三角形的外接圆，把一般三角形转化为直角三角形来处理。终于有学生做出来了。可此时下课铃响了。
（如学生12已作出结论：k=c=2R
作ΔABC的外接圆O，O为圆心，连接BO并延长交圆O于B/，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：连接BO并延长交圆于B/（图8）
∴∠B/AB=90O，∠B/=∠C
在RtΔB/AB中，=B/B
∴==B/B=2R即=2R，
同理可证：=2R，=2R
∴===2R）
老师：同学们，部分同学已证明，比如同学12，下去以后再研究，完善一下步骤。我们本节课通过“作高法”、“向量法”、“等积法”、“外接圆法”等方法证明正弦定理，由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。
临时设计意图:经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
三、教学反思
本节课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。
本节课是正弦定理教学的第一节课，课堂思维容量大，教学进度受学生的思维水平的影响；教学中容易出现突发事件影响教学进度；象本节课，面积公式证明法，以及完整正弦定理在备课时就没想到要讲，学生提供出新的证法，教师在此适时拓展，讲到了三角形的新面积公式，接着提出完整正弦定理。课讲到此，正好是一节完整地定理证明课，有证明，有拓展。而高227班是个重点班，学生学习兴趣浓，主动性强，本节课才讲下来。因此在教学中，教师要灵活处理随机事件的能力高，在组织教学中，采取“让学生走上讲台”、 “师生、生生讨论”等模式，形成学生主动观察、分析、归纳、探究、猜想、证明为主线的，教师的主导作用，真正体现了新课改的理念。这节课虽然没有完成最开始的设想，但我感觉本节课却达到了意想不到的效果，并得到三角形面积公式。因此，学习数学不仅是知识的自我和应用，更主要的是知识的建构和思维能力的培养，体现了知识的探究、建构过程、体现了学生的主体作用。对教材教学适当的处理，分层递进，理解思维方法，从特殊到一般，从归纳猜想到实验证明，培养学生的探究问题的科学方法。
也有一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。 新课标下的课堂终将是学生和教师共同成长的舞台！

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