圆锥曲线典型例题.doc

(完整word)圆锥曲线典型例题(精华版)
圆锥曲线典型例题强化训练
一、选择题
1、若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程为（　　）A
A. B. C. D.
2、若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ）C
A．—2或2 B． C．2或0 D．-2或0
3、设F1、F2为曲线C1： + =1的焦点，P是曲线:与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为（　　）C
（A） (B） 1 (C) (D) 2
4、经过抛物线的焦点且平行于直线的直线的方程是（ ）A
A. B。
C. D.
5、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） D
A． B． C． D．
6、如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C，若｜BC｜=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为( ）B
A． B．
C． D．
7、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为(　　)D
A． B. C. D。
8、已知双曲线的中心在原点, 右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ) D
A. B. C. D。

二、解答题
1、已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1) 若椭圆的离心率,求的方程；
（2）若的圆心在直线上,求椭圆的方程．

2、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为，右焦点与点的距离为。
（1)求椭圆的方程；
（2)是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角;若不存在，说明理由。

3、已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线,使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为(如图）。
(1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时,求椭圆的方程；
(2）设,证明：为常数.

4、椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,相应于焦点F（c,0）(c〉0）的准线（准线方程x=,其中a为长半轴，c为半焦距)与x轴交于点A,，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。
（1） 求椭圆方程；
（2） 求椭圆的离心率；
（3） 若，求直线PQ的方程。

5、已知A（－2,0）、B(2，0），点C、点D依次满足
（1）求点D的轨迹方程;
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的
距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.

6、若椭圆过点（-3，2)，离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B。（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
(Ⅲ）求的最大值与最小值.

7、已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
(1）求椭圆的标准方程;
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC，求的值。

8、已知曲线C:xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中．
（1）求与的关系式;（2)求证：{}是等比数列；
（3)求证：。

9、已知点和直线：，动点到点的距离与到直线的距离之比为．
（I)求动点的轨迹方程；
x
y
O
F
l
M
N
（II）设过点F的直线交动点的轨迹于A、B两点,并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程．

10、设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点,且，坐标原点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设是椭圆上的一点,过点的直线交轴于点,交轴于点，若，求直线的斜率．

11、已知动圆过定点,且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
（2） 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，
且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在,说明理由.

12、设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，求直线的斜率的取值范围.

祥细答案
1、解：(1）当时，∵，∴，
∴，，点,，—--—-----2分
设的方程为
由过点F，B,C得
∴—————--—————-———-①
-——--—--—--—-————②
—------—--—------—-③---——————-—---——--—-—--—-—--5分
由①②③联立解得，，-—-—-——-—————--———----—7分
∴所求的的方程为——-—-—-------8分
（2）∵过点F，B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为-——-—---④-————--—————----—---——9分
∵BC的中点为,
∴BC的垂直平分线方程为---—-⑤—---—-—-—-----—---———10分
由④⑤得,即——---—-——————---11分
∵P在直线上，∴
∵ ∴由得
∴椭圆的方程为-—-————--——--—-—--——-—-—----———---—--———--—-—-—---—--——--——-——14分
2、解：（1）依题意,设椭圆方程为，则其右焦点坐标为
， ………… 2分
由,得，
即，解得。 ………… 4分
又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为. ……5分
（2）由知点在线段的垂直平分线上,
由消去得
即 （＊） ………… 7分
由，得方程（*）的，即方程（＊)有两个不相等的实数根。
…………8分
设、,线段的中点,
则，，
,即 ……… 10分
，∴直线的斜率为，……11分
由，得， …… 12分
∴ ，解得：，即, …… 13分
又,故 ，或，
∴ 存在直线满足题意，其倾斜角，或。…… 14分
3、解：（1)由已知，,…………………2分
解得：， …………………4分
所以椭圆的方程是：。 …………………5分
（2）解法1：设
由题意得: 直线的方程为: ，直线的方程为： ,………………7分
则直线的方程为： ，其中点的坐标为; ………………………8分
由 得： ，则点； ………9分
由 消y得:,则； 10分
由得:,则:，
同理由得:， …………………………………………………12分

故为常数. ……………………………………………………………………14分
解法2:过作轴的垂线,过分别作的垂线，垂足分别为，…6分
由题意得： 直线的方程为： ,直线的方程为： ,………………8分
则直线的方程为: ，其中点的坐标为； ………………………9分
由 得: ，则直线m为椭圆E的右准线； ………10分
则: ,其中e的离心率； …………………………12分
,
故为常数. ………………………………………………………………14分
4、解：（1）由已知得,解得:……………………2分
所求椭圆方程为………………………………………………4分
（2）因，得……………………………………7分
（3）因点即A（3，0）,设直线PQ方程为………………8分
则由方程组,消去y得：
设点则……………………10分
因，得,
又，代入上式得
,故
解得:，所求直线PQ方程为……………………14分
5、解:（1）设C、D点的坐标分别为C(，D，则），
， 则，故
又
代入中， 整理得，即为所求点D的轨迹方程.
（2）易知直线与轴不垂直，设直线的方程为 ①。
又设椭圆方程为 ②.
因为直线：kx－y+2k=0与圆相切。故,解得
将①代入②整理得， ③
将代入上式，整理得 ，
设M（，N(，则，
由题意有，求得.经检验，此时③的判别式
故所求的椭圆方程为
6、解:（Ⅰ）由题意得： 所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由题可知当直线PA过圆M的圆心(8，6）时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在， 设直线PA的方程为：y—6=k(x-8)
又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为
即 可得
所以直线PA的方程为:
（Ⅲ)设 则
则

7、解：（1）∵点是线段的中点 ∴是△的中位线
又∴ ———---—---—--——-—-——-—-—----2分
∴ ——-—-——--—-——-——--——————--—7分
∴椭圆的标准方程为=1 ——--——————8分
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 ---—————-——-————————-————10分
在△ABC中，由正弦定理， —-----—----12分
∴＝ —--———-——-—————---14分
8、解：(1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，
则， —-—----—-——-—--—----——-—--—-3分
于是有: 即: ----—--—-——-——--—-——-——-——-—4分
(2）记，则
， -———-—-—-————-——6分
因为，
因此数列{}是等比数列。 —-—-—--—-———---—----—--——--—8分
（3）由（2）可知：,
. -----—--——-——--—-——--————--—9分
当n为偶数时有:
=, ——--—-—--——--————11分
于是
①在n为偶数时有:
。 —-————-———-------12分
②在n为奇数时，前n—1项为偶数项，于是有:

. ---———--—-—-—----13分
综合①②可知原不等式得证。 —-—--——-—-—-——----———————--—14分
9、解：(I）设动点的坐标为，由于动点到点的距离与到直线的距离之比为，故， 2分
化简得:，这就是动点的轨迹方程． 6分
（II）设直线AB的方程为
代入，整理得
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根， 8分
记，中点, 则

∵线段AB的中点在直线上，
∴ ∴，或 10分
当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上，
∴直线AB的方程是或． 14分
10、解： (Ⅰ）由题设知
由于,则有，所以点的坐标为…….。2分
故所在直线方程为…………3分
所以坐标原点到直线的距离为
又，所以 解得：…………。5分
所求椭圆的方程为…………7分
（Ⅱ)由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为
直线的方程为,则有…………9分
设，由于、、三点共线，且
根据题意得解得或…………12分
又在椭圆上,故或解得
综上,直线的斜率为或.…………14分
11、解：（1）设为动圆圆心，由题意知：到定直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
∴ 动圆的圆心的轨迹的方程为： ………………………5分

（2)由题意可设直线的方程为，
由 得
或 ………………………7分
且， …………………………………9分
由 …………………………………………11分

或（舍去） …………………13分
又,所以直线存在，其方程为： ………………14分
12、解：(Ⅰ)解法一:易知，所以…………1分，设,则…………3分
因为，故当,即点为椭圆短轴端点时，有最小值…5分
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值…………7分
解法二：易知，所以…………1分，
设，则

…………3分（以下同解法一)
（Ⅱ)显然直线不满足题设条件…………8分，
可设直线，
联立，消去，整理得：…………9分
由〉0得:…………12分