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(完整版)五种方法求二面角及练习题
五种方法求二面角及练习题
一、 定义法：
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角.
1．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）二面角C1—BD—C的正切值（2)二面角

2.如图，四棱锥中,底面为矩形,底面,,，点M在侧棱上，=60，M在侧棱的中点
（1）求二面角的余弦值。

E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
1。 如图,在直四棱柱ABCD—ABCD中，底面ABCD为等腰梯形,AB//CD，AB=4, BC=CD=2， AA=2， E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC;（2)求二面角B-FC-C的余弦值。

2。如图，在四棱锥中,底面是矩形．已知．
（Ⅰ)证明平面;
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小;
（Ⅲ）求二面角的大小．

三．补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
1。已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。
A
C
B
B1
C1
A1
L
(1）求证：AC1⊥BC；
（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。

A1
D1
B1
C1
E
D
B
C
A
图5
2： 如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.

A
B
C
E
D
P
3如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。
角的平面角（锐角）.

分析 平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，.
四、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
1如图,在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I） 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（II） 证明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 ,

2、如图,在直三棱柱中,平面侧面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，

A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
3．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
(1）二面角C1—BD—C的正切值（2）二面角

4。过正方形ABCD的顶点A作，
设PA=AB=a，（1)求二面角的大小；
(2)求二面角C—PD-A

5. 如图所示,四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝
。（1） 证明： BE⊥平面PAB；
(2) 求二面角A－BE－P的大小
（3）PB与面PAC的角

6 如图，在底面为直角梯形的四棱锥
,,BC=6
（1) 求证：
(2) 求二面角的大小。
（3）求二面角B-PC—A的大小

7．如图,直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

A
B
C
D
P
8.如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．
(Ⅰ)证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角的正切值．