专题三导数与三次函数.doc

专题三 导数与三次函数
三次函数（、、、且）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。
例1、已知函数
⑴求函数的单调区间及极值；⑵求在上的最值。
解：令
、、的变化情况如下表

－1
（－1，1）
1

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

∴的单调递增区间是和
的单调递减区间是
当时，有极大值
当时，有极小值
⑵，
∵在上只有一个极值点
∴在上的最小值为－2，最大值为18
变式一、已知函数，其他不变
解：
∴在单调递增，没有极值
在上的最小值为，最大值为
变式二、已知函数；其他不变
解：
△
∴没有实数根 ∴在上恒成立
∴在上单调递增，没有极值
在上的最小值为，最大值为
变式三、已知函数，，实数为何值时，函数与的图象的交点有一个、二个、三个？
1
O
y
x
2
－2
－1
解：由例1画出函数的大致图象如图，观察图象，可得
当或时，函数与
只有一个交点。
当或时，函数与
有二个交点。
当时，函数与有三个交点。
变式四、为何值时，函数有一个零点？两个零点？三个零点？

解：令
、、的变化情况如下表

－1
（－1，1）
1

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

∴的单调递增区间是和
的单调递减区间是
当时，有极大值
当时，有极小值
要使有一个零点，需且只需，解得
要使有二个零点，需且只需，解得
要使有三个零点，需且只需，解得

变式五、已知函数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围
解：设切点为，则
∴切线方程 即
∵切线过点A ∴
即
∵过点可作的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
设，则
当变化时，、的变化情况如下表

0

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

由单调性知：①若极大值或极小值，方程只有一个实数根；②若或，方程只有两个相异的实数根，综上，要使方程有三个相异的实根，须且只须，所以，所求的的取值范围是。
变式六、已知函数 ，若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。
解：∵ ∴
①若，则
∴在上恒成立 ∴在上单调递增
∵
∴当时，函数的图象与有且只有一个交点。
②若，则
∴有两个不相等的实根，不妨设为、且， 则
当变化时，、的取值变化情况如下表

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

∵ ∴
∴

同理
∴

令，解得
－a
y
x
3
x2
x1
y=f(x)
当时，，
∴当时，函数的图象与轴
有且只有一个交点
∴的大致图象如图所示：
综上所述，的取值范围是综 合 练 习 题

O
y
x
1
2
1、已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，；如图所示，
求：⑴的值；
⑵、、的值。（2006北京）
解：⑴由数形结合可知
当时，；
∴在上递减
当或，，
∴在和上递增
∴当时，有极大值
⑵解法一、
由已知，得
解得
解法二、由数形结合可设

又
∴
由
∴

∴，
2、若函数在区域内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围。（2004全国卷）
解：
令解得，
①当即时，在上为增函数，不合题意
②当即时，函数在上为增函数，在内为减函数，在上为增函数，依题意应有：
当时，，当时，
所以，解得
综上，的取值范围是
3、已知函数在处取得极值，
⑴讨论和是函数的极大值还是极小值；
⑵过点作曲线的切线，求此切线方程。（2004天津）
解：⑴，依题意有
即
解得 ∴
∴
令 得 ，
若，则
∴的单调递增区间为和
若，则
∴的单调递减区间为
所以，是极大值，是极小值
⑵曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足
因，故切线方程为
∵点在切线上
∴
解得
∴切点为，切线方程为
变式：若第⑵小题改为，其他不变。
提示：仿照上题中的解法，有

或
所求的切线方程为或
3、已知函数在与时都取得极值。
⑴求、的值及函数的单调区间；
⑵若对，不等式恒成立，求的取值范围。（2006江西）
解：⑴，依题意，得
，解得
∴
变化时，、的变化情况如下表

1

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

所以的递增区间为与，递减区间为
⑵，
当时，为极大值，而
∴为最大值
要使恒成立
只须
解得 或
思考：若变为，的取值范围怎样？
4、已知函数是上的奇函数，当时，取得极值，⑴求的单调区间和极大值；⑵证明：对任意，，不等式恒成立。
⑴解：由奇函数的定义，应有，
即
∴
注意：可用
因此，
由条件为的极值，得
即
解得，
∴

当时，，故在单调区间上为增函数
当时，，故在单调区间上为减函数
当时，，故在单调区间上为增函数
所以在处取得极大值，极大值为
⑵证明：由⑴知，，是减函数
且在上的最大值为
在上的最小值为
所以对任意恒有
5、已知，，函数的图象与函数的图象相切。⑴求与的关系式（用表示）；⑵设函数在内有极值点，求的取值范围。（2004湖北）
解：⑴依题意，令，得
由，得
∵ ∴
⑵
∴
令 即
则△
①若，则有一实根上，且变化时，的变化如下

＋
0
＋
于是不是函数的极值点
②若，则有两个不等的实根，
变化时，的变化如下

＋
0
－
0
＋
由此，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
综上所述，当且仅当时，函数在上有极值点
由，得
或
∵
∴或
解得 或
故所求的取值范围是

12