专题：对数函数知识点总结及类型题归纳.doc

专题：对数函数知识点总结

1.对数函数的定义：
一般地，函数 ( )叫做对数函数 .定义域是
2. 对数函数的性质为

a>1
0<a<1
图
象

性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？
___________________________________________________________________________
对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。
一般的,函数y=ax与y=logax (a>0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称
y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f-1(x) 如:f(x)=2x,则f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称
函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称

专题应用练习
一、求下列函数的定义域
（1）； （2） ；
（3） （4）
(5) y=lg (6) y=
1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________
2.y= 的定义域是_______________
3.求函数的定义域___________
4.函数y=的定义域是　　　　　　　
5.函数y＝log 2(32－4x)的定义域是 　　　 ，值域是 　　　 　 .

6.函数的定义域____________
7.求函数的定义域和值域。
8.求下列函数的定义域、值域：
（1）； （2）； （3）（且）．
9.函数f（x）=ln（）定义域
10.设f(x)=lg,则f的定义域为
11.函数f(x)=的定义域为
12.函数f(x)=的定义域为 ；
13.函数f（x）=ln（）的定义域为 
14的定义域是
1. 设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；
(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围．
15.已知函数
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围
（3）若函数的定义域为，求实数a的值；
（4）若函数的值域为，求实数a的值.
16.若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　
17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.
18若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围为
19已知满足不等式，函数的值域是
20求函数的值域。
21已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.
解：f(x)有意义时，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，0＜-(x-,
∴log2≤2log2(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，∵0＜-(x-∴log2＜1+log2(p-1).
综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).

二、利用对数函数的性质，比较大小
例1、比较下列各组数中两个数的大小：
（1），；　（2），；
（3），； （4），，
1.，，的大小关系是____________
2.已知a2>b>a>1，则m=logab，n=logba，p= logb的大小关系是____________
3.已知logm5>logn5,试确定m和n的大小关系
4.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是
5.已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
6.设，则
7.
8.
9.设0 <x <1，a >0，且a≠1，试比较| loga（1-x） |与| loga（1+x） |的大小。
10.已知函数，则，，的大小关系是______
三、解指、对数方程：
（1） （2）（3）（4）
1.已知3a=5b=A,且=2，则A的值是
2.已知log7［log3(log2x)］=0，那么等于
3.已知log7［log3(log2x)］=0，那么x等于
4..若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则
5.若，那么等于
6. 已知，则
7. 已知，求的值．
四、解不等式：
1.
2.
3.设满足，给出下列四个不等式：
①，②，③，④，其中正确的不等式有
4.已知：(1)在上恒有，求实数的取值范围。
5.已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。
6.求的取值范围，使关于的方程有两个大于的根．
（2008·全国）若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则
7.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是
8.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围
9.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
10.若函数在区间上是增函数，的取值范围
11.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是
12.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
13.．设函数若，则的取值范围是（　　）
14.设a>0且 a≠1，若函数f (x)＝有最大值，试解不等式>0

五、定点问题
1.若函数y=loga(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
2.若函数y=loga(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
3.函数恒过定点 .
六、求对数的底数范围问题
1.（1）若且，求的取值范围
2. （2）若，求的取值范围
3..若且，则的取值范围________
4.函数的定义域和值域都是，则的值为 　　　　　.
5.若函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　
6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x≥2上单调减，求实数a的范围
7..已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
8.已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.
9.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
试求a的取值范围.
10.若函数在上是增函数，的取值范围是
11.使成立的的取值范围是
12.若定义在(－1，0)内的函数f (x)＝log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是

七、最值问题
1.函数y＝log ax在[2, 10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a＝　　　　　.
2.求函数的最小值　　　　　,最大值　　　　　.。
3.设a＞1,函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a=
4.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a=
5.已知,则函数的最大值是 ，最小值是 .
6.已知，求函数的最大值与最小值
7.已知满足 ，求函数的最值。
8.
9.函数f (x)＝ax＋log (x+1)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a，则a＝
10.求函数的最小值
11.函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．

八、单调性
1.讨论函数的奇偶性与单调性
2.函数的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是
3.函数的递减区间是 ．
4.函数y=log1/3(x2-3x)的增区间是________
5.证明函数在上是增函数
6.函数在上是减函数还是增函数？
7.求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
.8.求y=(-2x)的单调递减区间
9..求函数y=(-4x)的单调递增区间
10.函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是 
11.函数的值域是 ，单调增区间是 ．
12.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围
1.证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；
2.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.，求实数a的取值范围.
3.已知函数，（其中实数）
（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若在上有意义，试求实数的取值范围
小结：复合函数的单调性
的单调相同，为增函数，否则为减函数
九、奇偶性
1.函数的奇偶性是　　　 。
2.若函数是奇函数，且时，，则当时，　　　
3.偶函数在内单调递减，，则之间的大小关系
4.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为
5.已知函数若则　　　　　.
6.已知奇函数 满足 ，当 时，函数 ，则 =____．

7.

8.知函数f(x)=loga (a＞0,且a≠1，b＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x）单调性
9.a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数
1）求b取值范围2）讨论函数f(x)单调性.
10.设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数.
（1） 求b的取值范围；（2）讨论函数f(x)的单调性.

11.已知函数其中，设.
（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
（2）若，求使成立的的集合.

十、对称问题与解析式
1.已知函数的定义域是，且对任意的满足，当时有，请你写出一个满足上述条件的函数　　　　　　　　　。
2.已知函数满足
（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性；（4）解不等式
3.已知定义域为的函数满足条件：对于定义域内任意都有
.(1)求证：，且是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.

5.已知函数f(x)=loga(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.
解 （1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，
∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上，∴-y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x).（2）f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
设F（x）=loga,x∈［0，1），由题意知，只要F（x）min≥m即可.
∵F（x）在［0，1）上是增函数，∴F（x）min=F（0）=0.故m≤0即为所求

1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,
代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).
6.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
7.设函数 且 ．
　① 求 的解析式，定义域；② 讨论 的单调性，并求 的值域．
十一、对数函数图象
1．函数的图象是由函数的图象 得到。
2. 函数的图象是由函数的图象 得到。
3. 函数（）的图象是由函数的图象
当时向 __ 单位得到;
当时向 __ 单位得到;
当时向 __ 单位得到;
当时向 __ 单位得到。
尝试总结：平移变换的法则___________________________
____________________________________________________________________
1.将函数y=2x的图象向左平移1个单位得到C1，将C1向上平移1 个单位得到C2，而C3与C2关于直线y=x对称，则C3对应的函数解析式是
2.函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：
(1)； (2)；　
(3) ；(4)
1.已知x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根求函数f (x)＝的单调区间

2.如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，
则相应于曲线 的 值依次为(    )．

3.方程的解的个数为
4.已知关于x的方程的两根均大于1，则实数的取值范围是
5.方程的实根个数是　　　　　个.则x1＋x2＝
6.已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小
7.设a>0且a≠1,求证：方程-x=2a的根不在区间[-1,1]内
8.若 ，且 ，则 满足的关系式是  （　　）
9.若 是偶函数，则 的图象是    (    )．
（A）关于 轴对称（B）关于 轴对称（C）关于原点对称　（D）关于直线 对称
10方程 实数解所在的区间是 (   )．（A）  （B） （C）  （D）
11.已知x、y为实数，满足（log4y）2=，试求的最大值及相应的x、y的值．

十二、附加内容（补充）
本节主要介绍以下几个问题
一、反函数的定义
二、反函数的求法

三、反函数存在的条件

四、反函数的性质

y=ax及y=logax互为反函数
,反函数的定义
一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数
y=ax与y=logax互为反函数
注意：f-1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数

求函数y=3x+6的反函数
解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2
Y=ax与y=logax ({x|x>0})互为反函数(由y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域
二,反函数的求法步骤
1、从y=f(x)中解出x;
2、求出原函数的值域即为反函数的定义域；
3，x、y互换并加注定义域即为所求

反函数存在的条件
y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x; 所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应
y=ax在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数
思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x）

反函数的简单性质
1、原函数与反函数的定义域与值域对调
2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x与y一一对应）
3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性

1.求出函数y=log2 (-1<x<1)的反函数
解：2y=,x=(y∈R) 反函数为：y= (X∈R)
2.求函数y=1+ (x≤-5)的反函数(答：f-1(x)=(x≥1)
3..若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c的值(答：a=5,b=2,c=1)

4.已知y=x2-2ax+3在上存在反函数 ⑴求实数a的范围;⑵求a取得最值时相应的反函数解:⑴a≤1
⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 故反函数为f-1(x)=1+（x≥2）

5.已知函数y=- 的反函数是f-1(x) 求f-1(-1)
6.若函数f(x)的图象过点（1，2），则f-1(x)的图象一定经过点_________
7.若点(1,2)既在函数y= +b,又在其反函数的图象上，求实数a,b的值
8.已知，（1）求其定义域；（2）解方程