初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型.doc

等腰直角三角形中的常用模型
【知识精析】
1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）
②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形：
以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

1-1：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。
（1）求证：BE-CF=EF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于，连CQ交AB于M。
（1）求证：M为BE的中点

（2）若PC=2PB，求的值

（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

1-2：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。
（1）求证：BG=AF；
（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R△ABC中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

2-1：连接AD，求证：∠ADB＝45°。

变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，
（1）求的值；（2）求的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：

3-1：如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：

如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）

3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。
（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是 ；
（2）如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。

【经典模型】
在△BAC中，AB=AC，且∠BAC=90°有一点D满足∠BDC=90°：
（1） 当点D在边BC下面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？
（2） 当点D在边BC上面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？

推广：
（1） △ABC为等边三角形，D为BC下面一点且∠BDC=120°，此时呢？
（2） △ABC为等腰三角形，D为BC下面一点且∠BDC=60°，此时又如何？

【猜想】在运算中是否发现，，有某种数量上的对应关系？
【巩固练习】
1．如图，在中，,∠,、为上两点，∠，为外一点，且⊥,,则下列结论：①;②;③;④,其中正确的是
A
F
B
D
E
C
A、①②③④ B、①②④
C、①③④ D、②③

2．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N。
（1）若∠MON=90°（如图1），求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2；

（2）若∠MON=45°（如图2），求证：①AM+MN=CN；

3.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。
（1） 若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；

（2） 过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

4.在△ABC和△DCE中，AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点E在AB上，连AD，DF⊥AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出∠DAC的度数。

5．如图：等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，E为AB是一点，P为AE的中点。
⑴连接PC，PD；则PC，PD的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。

⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状；在点E运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边之比。

6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

7.如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。
（1） 求证：BN平分∠OBA；

（2） 求的值；

（3） 若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

8.已知：PA=，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB的两侧.
(1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小.