算法、统计与概率第2课时统计初步.doc

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第十章　算法、统计与概率第2课时　统计初步(1)

考情分析
考点新知
统计部分重点考查数据收集、处理的基本能力．抽样方法在高考中多为基础题,常以填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、解决实际问题的能力，考查热点为分层抽样、系统抽样．

① 理解随机抽样的必要性和重要性.
② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法。

1. (原创）为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况,在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5的汽车检查，这种抽样方法称为________．
答案:系统抽样
解析：由于这种抽样方法采用抽取车牌末位数字为5的汽车检查，可以看成是将所有的汽车车牌号分段为若干段（一个车牌末位数字从0到9为一段)，每一段抽取一个个体,因此它符合系统抽样的特征，故答案为系统抽样．
2. （必修3P47练习1改编)为了解某校一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除个体的数目是____________．
答案：2
解析：1252除以50的余数就是总体中需要随机剔除个体的数目．
3. （必修3P49练习3改编)某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人,现从中抽取一个容量为200人的样本,则高中二年级被抽取的人数为________．
答案：64
解析:由题意，应采用分层抽样,则高中二年级被抽取的人数为320×＝64。
4. （必修3P52习题2改编)某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为23,则第8组抽出的号码应是________．
答案：38
解析：由题意易见系统抽样的间隔为5，设第一段中抽取的起始的个体编号为l，由第5组抽出的号码为23得l＋4×5＝23，所以l＝3，故第8组抽出的号码是3＋7×5＝38。
5。 (必修3P50例3改编)某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户,工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法的是________．（填序号)
① 简单随机抽样；② 系统抽样；③ 分层抽样．
答案：①②③
解析：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样;而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种方法．

1. 简单随机抽样
(1) 定义
从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n<N），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．
（2） 分类
简单随机抽样
2. 系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为：
（1） 采用随机的方式将总体中的N个个体编号；
(2） 将编号按间隔k分段，当是整数时，k＝;当不是整数时,从总体中剔除若干个个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时k＝，并将剩下的总体重新编号；
（3） 在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;
（4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为l，l＋k,l＋2k，…，l＋（n－1)k的个体抽出．
3。 分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．

题型1　简单随机抽样
例1　总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为________．

7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481
答案：01
解析：依题意,第一次得到的两个数字为65，由于65〉20，将它去掉；第二次得到的两个数字为72,由于72〉20，将它去掉;第三次得到的两个数字为08，由于08<20，说明号码08在总体内，将它取出；继续向右读,依次可以取出02，14，07，02；但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个．再选一个就是01.故选出来的第5个个体是01.

现要从20名学生中抽取5名进行问卷调查，请按正确的顺序表示抽取样本的过程：________（填序号）．
① 编号:将20名学生按1到20进行编号；
② 装箱：将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
③ 抽签：从箱中依次抽出5个号签；
④ 制签：将1到20这20个号码写在形状、大小完全相同的号签上；
⑤ 取样：将与号签号码相同的5个学生取出．
答案:①④②③⑤
解析：由题意易知，本题的抽样方法是抽签法，根据抽样步骤知，正确的顺序为①④②③⑤。
题型2　系统抽样
例2　下列抽样中是系统抽样的有__________．（填序号）
① 从标有1～15的15个球中，任取3个作为样本,按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起）号入样;
② 在用传送带将工厂生产的产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；
③ 搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止；
④ 电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈．
答案:①②④
解析：系统抽样实际上是一种等距抽样,只要按照一定的规则(事先确定即可以)．因此在本题中，只有③不是系统抽样，因为事先不知道总体，不能保证每个个体按事先规定的概率入样．

将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为________．
答案：25，17,8
解析：根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人,剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．
题型3　分层抽样
例3　某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女生人数如下表:

高一年级
高二年级
高三年级
女生
523
x
y
男生
487
490
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17。若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________．
答案：99
解析：由题设可知＝0.17，∴ x＝510.∴ 高三年级人数为y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510）＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为×990＝99。

(2013·石家庄检测）某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号,6~10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

答案：37　20
解析：由系统抽样知识可知,将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，且分段的间隔相等．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋（5－1）×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－1）×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50％＝20(人）．

1。 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
答案:15
解析：分层抽样又称分类抽样或类型抽样．将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性．因此，由50×＝15知应从高二年级抽取15名学生．
2。 (2013·连云港调研)某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．
答案：19
解析：按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13,显然在第一段中抽取的起始个体编号为6,第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．
3. (2013·湖南(文)改)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件,80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．
答案：13
解析：（解法1)由分层抽样得＝，解得n＝13。
（解法2）从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6,b＝4,所以n＝a＋b＋c＝13.
4. （2013·潍坊模拟)某高中在校学生有2 000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表:

高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．
答案：36人
解析：根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36。

1. (2013·金湖中学检测）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比为3∶4∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为________．
答案：70
解析：由题意设A、B、C三种产品的数量分别为3k、4k、7k，则＝，解得n＝70。
2. 某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后，再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名学生上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为________．
答案：400
解析:根据抽样的等可能性，设高一年级共有x人，则＝，∴ x＝400.
3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间［451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C。则抽到的人中，做问卷B的人数为________.
答案：10
解析：系统抽样也称等距抽样,分段间隔为＝30,由于第一组抽到的号码为9，所以后面各组抽到的号码成公差为30的等差数列，即第k组抽到的号码为9＋30(k－1)＝30k－21，做问卷B的编号应满足451≤30k－21≤750,解得15≤k≤25，由于k∈N，所以k＝16，17，…，25，这10组中每组抽一个个体，共抽到10个,故做问卷B的人数为10。
4。 下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样,阅读并回答问题：
①本村人口：1200人;户数300户,每户平均人口数4人
②应抽户数：30
③抽样间隔：＝40
④确定随机数字：取一张人民币,后两位数为12
⑤确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户
⑥确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户
⑦……
(1） 该村委采用了何种抽样方法?
(2) 抽样过程存在哪些问题，试改之；
(3) 何处用的是简单随机抽样？
解：（1） 系统抽样．
(2） 本题是对某村各户进行抽样,而不是对某村人口抽样．抽样间隔为＝10，其他步骤相应改为确定随机数字:取一张人民币，末位数为2(假设)．确定第一样本户：编号为02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户；……
(3) 确定随机数字：取一张人民币,取其末位为2，这是简单随机抽样．

1。 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点,能根据具体情况正确选择抽样方法：当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样,将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．
2。 实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法．
3。 系统抽样也叫等距抽样,如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k＝,否则需随机地从总体中剔除余数,然后重新分段进行系统抽样．
4。 分层抽样的关键是按“比例”，每层抽取的个体可以不一样多，按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量，若按比例计算所得的个数不是整数，可作适当的近似处理．
5。 注意三种抽样方法的比较．无论采用何种抽样方法，必须保证在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．

[备课札记］