圆锥曲线的切线方程总结(附证明).doc

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即 。
（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。
评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上）
联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为；（2）当在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
证明：（1）两边对求导，得
得，由点斜式得切线方程为
化简得………………….①
因为………………………………………………… ②
由①－②×2可求得切线方程为：
（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：
推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
推论4：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。