第3讲-导数及其应用.doc

2019通山一中 高三数学专题一 函数、导数导学案 使用时间：2019.03.15 编制人：王有炎 审核人：李玲 班级： 小组： 姓名： 评价：

第3讲　导数及其应用
题型一　导数的运算、几何意义与定积分

1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x
2．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝____．
3．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为____．
题型二　利用导数研究函数的单调性

1．(1)(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能(　)

(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围是____．
2．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．

题型三　利用导数研究函数的极(最)值

1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1
2．(2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为____．
3．已知函数f(x)＝＋＋a＋1(a∈R)．
(1)若a>0，证明：函数f(x)在[，＋∞)上单调递减；
(2)是否存在实数a(a<0)，使得函数f(x)在(0,8)内存在两个极值点？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．(参考数据：ln 2≈0.693，e≈4.5)

题型四　利用导数解决与不等式有关的问题

1．已知函数f(x)＝aln x＋1(a>0)．(1)当x>0时，求证：f(x)－1≥a；
(2)若在区间(1，e)上f(x)>x恒成立，求实数a的取值范围．

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2．(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a．

导数与其他知识的交汇问题
【预测】 设函数f(x)＝－aln(1＋x)，g(x)＝ln(1＋x)－bx．
(1)若函数f(x)在x＝0处有极值，求函数f(x)的最大值；
(2)①是否存在实数b，使得关于x的不等式g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；
②证明：－1< k=1nkk2+1 －ln n≤(n∈N*)．

【变式考法】　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28…．
(1) 证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；

1．a＝ln 2，b＝5－，c＝cos xdx的大小关系为(　　)
A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．c<b<a
2．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B． C．[－6，－2] D．[－4，－3]
3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为___．
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是____．
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2．

6．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

1．(2018·湖南株洲模拟)设函数y＝xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是(　　)

2．(2018·湖北武汉模拟)若定义域为R的单调递增函数y＝f(x)对于任意两个不相等的实数m，n都有f>成立，y＝f′(x)为函数y＝f(x)的导函数，则f(a＋1)－f(a)，f′(a)，f′(a＋1)的大小关系为(　　)
A．f′(a)<f(a＋1)－f(a)<f′(a＋1) B．f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)
C．f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a) D．f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－f(a)
3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是____.,
4.设函数f(x)＝(1)若a＝0，则f(x)的最大值为____；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是____．
5．已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．

精准提升
6．函数f(x)在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f(x)>0；②2f(x)<xf′(x)<3f(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，则(　　)
A．<< B．<< C．<< D．<<
8．已知实数a，b满足2a2－5ln a－b＝0，c∈R，则的最小值为(　　)
A． B．　 C． D．
7．(2017·山东卷)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

8．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．

1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
2．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] B．(－∞，－20] 　C．(－∞，0] D．[－12,7]
3．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则(　　)
A．3f(1)<f(3) B．3f(1)>f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
4．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(a)<f(1)<f(b)　B．f(a)<f(b)<f(1) C．f(1)<f(a)<f(b)　D．f(b)<f(1)<f(a)
5．(2018·广西南宁调研)已知f(x)＝－x2－6x－3，g(x)＝2x3＋3x2－12x＋9，设m<－2，若∀x1∈[m，－2)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数m的最小值为____．
6．(2018·湖南长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为____．
7．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于____．
8．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是___．
9．设函数f(x)＝－kln x，k>0．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．

精准提升
10．(2018·广东广州模拟)若对任意的x∈D，均有g(x)≤f(x)≤h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数h(x)在区间D上的“任性函数”．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝x2－2x，h(x)＝(x＋1)(ln x＋1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是____．
11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－aln x．
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)设m为整数，且对于任意正整数n，··…·<m，求m的最小值．

12．(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝x＋－aln x，若函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行．
(1)求a的值；
(2)若方程f(x)＝b在区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

13.已知函数f(x)＝xex＋．
(1)求证：函数f(x)有唯一零点；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，xex－ln x≥1＋kx恒成立，求实数k的取值范围．

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