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(word完整版)中考专题解析—切线证明
专题解析-—切线证明
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
图1
O
A
B
C
D
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．
证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB＝90º．
∵∠CAB＝30º，∴BC＝AB＝OB．
∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90º．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线．
O
A
B
C
D
图2
2
3
4
1
【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路:本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
又∵OB＝OD，OC＝OC,
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．
∴DC是⊙O的切线．

图3
O
A
B
C
D
2
3
1
【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．
∵OC＝OA,∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．
∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径,那么半径垂直切线．
　　【例4】　如图1,B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么?

解：AC是⊙O的切线．
　　理由：连接OC，
　　∵OC=OB,
　　∴∠OCB=∠B．
　　∵∠COD是△BOC的外角,
　　∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．
　　∵∠ACD=2∠B，
　　∴∠ACD=∠COD．
　　∵CD⊥AB 于D，
　　∴∠DCO+∠COD=90°．
　　∴∠DCO+∠ACD=90°．
　　即OC⊥AC．
　　∵C为 ⊙O上的点，
∴AC是⊙O的切线．
【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

　证明：连接OC，则OA=OC，
　 ∴∠CAO=∠ACO，
　　∵AC平分∠EAB,
　　∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，
　　∴AE∥CO，
　　又AE⊥DE,
　　∴CO⊥DE,
∴DE是⊙O的切线．

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

【例6】　 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．
求证:AC是⊙O的切线

　证明:连接OD,作OE⊥AC，垂足为E．
　　∵AB=AC，OB=OC．
∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D，
∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO
　　∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．
　　∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．
　　∴⊙O与AC 边相切．
【例7】 如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC。
又∵AB=BC，
⌒
⌒
∴∠3=∠4.
∴BD=DE，∠1=∠2。
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF。
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图，AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE,连结EC。
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC。
∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB, ∴∠1=∠B。
又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900。
∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:延长AD交⊙O于E,连结OA,OE。
⌒
⌒
∵AD是∠BAC的平分线，
∴BE=CE，
∴OE⊥BC。
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE，
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.
【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证:DM与⊙O相切.
证明一：连结OD。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
D
∴∠1=∠B。
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD。
∴DM与⊙O相切
证明二:连结OD，AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2.
C
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3。
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知。
【例10】 如图，已知:AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上。
求证：DC是⊙O的切线

证明：连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600。
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形。
D
∴OB=BC.
∵OB=BD，
∴OB=BC=BD。
∴OC⊥CD。
∴DC是⊙O的切线。
说明：此题解法颇多，但这种方法较好。
【例12】 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP。
求证：PC是⊙O的切线.

证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC,
∴OC2=OD·OP，
。
又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC。
∴∠OCP=∠ODC。
∵CD⊥AB，
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线。
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点,AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析:此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心。
∵OC=OG,
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900，
∴∠1+∠2=900。
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了,简称：“作垂直;证半径"
【例14】 如图,AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS)
∴DF=DE。
∴F在⊙D上。
∴AC是⊙D的切线
证明二:连结DE，AD,作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD,
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切。
说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
【例15】 已知:如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：CD是⊙O的切线。

证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA，BD⊥OB。
∵AC∥BD，
∴∠F=∠BDO。
又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS)
∴OF=OD。
∵∠COD=900,
∴CF=CD，∠1=∠2。
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA。
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.

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