奥数-六年级-千份讲义-119-6.第五讲-比例.doc

第五讲
比例解行程问题

知识点拨

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：
1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
，这里因为时间相同，即,所以由
得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比
2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
，这里因为路程相同，即，由
得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。
例题精讲

模块一、时间相同速度比等于路程比
【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？

【例 2】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【例 3】 甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在C点 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在D 点处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？

【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？

【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

【例 6】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分钟后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分钟，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。

模块三：路程相同速度比等于时间的反比
【例 7】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

【例 9】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？

【例 10】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？

【例 11】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？

模块四、比例综合题
【例 12】 甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

【例 13】 甲、乙两人同时从A地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达 A地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二次相遇的地点距离B 地多少米？

【例 14】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【例 15】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处．一列火车以每小时千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

【例 16】 如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为 平方米．

【拓展】如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从 点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

课后作业

练习1 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？

练习2 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？

练习3 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？