2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)-附详细解答和评分标准.doc

(完整版)2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准

1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）
（第25题图）
A
x
y
B
C
O
如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0,－4）、B(，0）、 C（，0)三点，且-=5．
（1）求、的值；（4分）
（2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
(3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形?若不存在，请说明理由．(3分）
解：

解：（1）解法一：
∵抛物线=－++经过点A（0,－4），
∴=－4 ……1分
又由题意可知,、是方程－++=0的两个根,
∴+=, =－=6 2分
由已知得(—)=25
又（-）=（+）－4=－24
∴ －24=25
解得=± 3分
当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意,舍去．
∴=－． 4分
解法二:∵、是方程－++c=0的两个根,
即方程2－3+12=0的两个根．
∴=, 2分
∴－==5，
解得 =± 3分
（以下与解法一相同．）
（2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵=－－－4=－（+）+ 6分
∴抛物线的顶点(－，）即为所求的点D． 7分
（3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线=—3与
抛物线=－-—4的交点， 8分
∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4,
∴在抛物线上存在一点P（－3，4),使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是（－3，3)，但这一点不在抛物线上． 10分
2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分)
已知点A（a，）、B(2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上。
(1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当a=1时，求△ABC的面积；
(3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个,并加以证明；如果不存在，说明理由。

解：(1）由5=0， （1分)
得，． （2分)
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0)、（，0)． （3分)
(2)当a=1时，得A(1，17）、B（2，44）、C（3，81）， (4分）
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S — — (5分)
=—- （6分)
=5(个单位面积） （7分)
(3）如：． (8分）
事实上， =45a2+36a．
3（）=3[5×（2a)2+12×2a-(5a2+12a）］ =45a2+36a． （9分)
∴． （10分）
y
x
O
第26题图
D
E
C
F
A
B
3、(08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上,且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上,并说明理由;
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．

解:(1）点在轴上 1分
理由如下：
连接,如图所示，在中,，，
,
由题意可知：

点在轴上,点在轴上． 3分
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为 5分
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点，

由题意,将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上

解得，,
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为,；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，． 14分

A
O
x
y
B
F
C
图16
4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由;
（3)试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解:（1)直线与轴交于点,与轴交于点．
， 1分
点都在抛物线上,

抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
（2）存在 5分
7分
9分
(3）存在 10分
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于点,则点就是所求的点．
11分
A
O
x
y
B
F
C
图9
H
B
M
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，， 12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点,使得的周长最小,此时． 14分
5、（08青海西宁28题）如图14,已知半径为1的与轴交于两点，为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点．
（1）求二次函数的解析式；
图14
y
x
O
A
B
M
O1
（2）求切线的函数解析式；
(3)线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在,请说明理由．

解：（1）圆心的坐标为，半径为1,，……1分
二次函数的图象经过点，
可得方程组 2分
解得：二次函数解析式为 3分
（2）过点作轴,垂足为． 4分
是的切线，为切点,(圆的切线垂直于经过切点的半径）．
y
A
H
F
M
O
P1
P2
O1
x
B
在中，
为锐角, 5分
，
在中,．
．
点坐标为 6分
设切线的函数解析式为，由题意可知， 7分
切线的函数解析式为 8分
（3）存在． 9分
①过点作轴,与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）
， 10分
②过点作,垂足为，过点作，垂足为．
可得（两角对应相等两三角开相似）
在中，，，
在中，，
， 11分
符合条件的点坐标有， 12分

6、（08山东济宁26题)(12分）
中,，，cm．长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于两点，线段运动的时间为s．
（1)若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围)；
（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时的值;若不可能，说明理由；
(3）为何值时，以为顶点的三角形与相似？

解：（1）当点在上时,，．
． 2分
当点在上时，．
． 4分
（2)，．．
． 6分
由条件知，若四边形为矩形，需，即,
．
当s时，四边形为矩形． 8分
（3)由（2）知，当s时，四边形为矩形,此时，
． 9分
除此之外，当时,，此时．
，．． 10分
，．
又，． 11分
，．
当s或s时,以为顶点的三角形与相似． 12分

7、（08四川巴中30题)（12分）30．已知:如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点,直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？

x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O

解：(1）在中,令

，
， 1分
又点在上

的解析式为 2分
（2)由，得 4分
，
, 5分
6分
（3）过点作于点

7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分

10分
11分
此抛物线开口向下,当时，
当点运动2秒时,的面积达到最大，最大为． 12分

8、(08新疆自治区24题)（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
(1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
(2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1。5m，高1。6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0。8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

解:（1）设抛物线的表达式为 1分
点在抛物线的图象上．
∴
3分
∴抛物线的表达式为 4分
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）
已知窗户高1.6m，∴ 5分

(舍去） 6分
∴（m) 7分
又设最多可安装n扇窗户
∴ 9分
．

答：最多可安装4扇窗户． 10分
(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）

9、（08广东梅州23题)23．本题满分11分．
如图11所示,在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB,AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）

解： （1) DC∥AB，AD=DC=CB，
∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0。5分
∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分
∠DAB+∠DBA=90, ∠DAB=60， 1。5分
∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分
RtAOD,OA=1，OD=， 2.5分
A（—1，0），D（0， )，C(2， ）． 4分
(2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(－1，0），B(3，0），
故可设所求为 = (+1）（ —3) 6分
将点D（0， )的坐标代入上式得， =．
所求抛物线的解析式为 = 7分
其对称轴L为直线=1． 8分
（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形; 9分
②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；
③与②同理,L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．

10、（08广东中山22题)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4,AC与BD相交于点E，连结CD．
（1）填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形。
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形）。
(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围。
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
10

D
C
B
A
E
图9

解：(1），,…………………………1分
等腰;…………………………2分
（2）共有9对相似三角形。（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）
　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC；（有2对）
所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
K

（3）由题意知，FP∥AE,
∴ ∠1＝∠PFB,
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
∴ ∠PFB＝∠2＝30°，
∴ FP＝BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K,则.
∵ AF＝t,AB＝8，
∴ FB＝8－t，.
在Rt△BPK中，. ……………………7分
∴ △FBP的面积,
∴ S与t之间的函数关系式为：
，或。 …………………………………8分
t的取值范围为：。 …………………………………………………………9分
11、（08湖北十堰25题）已知抛物线与轴的一个交点为A（—1，0），与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标;若不存在,请说明理由．

解:⑴对称轴是直线：,点B的坐标是(3,0）． ……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1，0)、B (3，0），
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝ ………………………………3分
当时，
∴　 ………………………………4分
∴ ………………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图,连接AC、BC．设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB,且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x｜＝4，．
∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在"二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

12、(08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为,．
（1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标．
D
C
O
A
B
x
y
（2）若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,
求此函数的解析式．

F
E

解：（1）连结AD，则∠ADO＝∠B＝600
在Rt△ADO中，∠ADO＝600
所以OD＝OA÷＝3÷＝
D
C
O
A
B
x
y
F
所以D点的坐标是(0，）
(2）猜想是CD与圆相切
　　　∵　∠AOD是直角,所以AD是圆的直径
E
又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝300
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD
　∴　CD切外接圆于点D
(3）依题意可设二次函数的解析式为 :
y=α（x－0）(x－3）
由此得顶点坐标的横坐标为：x==；
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF,则得∠EFA＝∠B＝300
得到EF＝EA＝　　　可得一个顶点坐标为（,）
同理可得另一个顶点坐标为（,）
分别将两顶点代入y=α（x－0)(x－3)可解得α的值分别为，
则得到二次函数的解析式是y=x(x－3）或y= x（x－3)
13、（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上,点在轴正半轴上，点坐标为(2，2），∠= 60°，于点。动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
（1） 求的长；
（2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少?
（3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值。
②探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论。

解：（1)∵∥
∴
在中， ,
∴，
∴ 而
∴为等边三角形
∴…（3分）
(2）∵
∴
∴
= （）…………………………（6分）
即

∴当时，………………………………………(7分)
（3）①若为等腰三角形，则:
(i）若，
∴∥
∴ 即
解得：

此时………………………………(8分)
（ii）若,
∴
过点作，垂足为，则有：

即
解得：
此时……………………………………（9分)
（iii)若，
∴∥
此时在上，不满足题意.……………………………………………（10分）
②线段长的最大值为……………………………………………………（12分）
14、（08甘肃兰州28题)(本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点，点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上，,．
(1)在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处,求两点的坐标；
（2)如图19-2，若上有一动点(不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值？最大值是多少？
（3)在(2)的条件下，当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标．
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-1
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-2
P
M
N

(本题满分12分)
解:（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴,
在中，,．
．．
点坐标为（2，4）． 2分
在中，， 又．
． 解得：．
点坐标为 3分
（2)如图①,．
，又知,，
, 又．
而显然四边形为矩形．
5分
，又
当时，有最大值． 6分
（3）(i）若以为等腰三角形的底,则（如图①）
在中，，，为的中点，
y
x
B
C
O
A
D
E
图①

P
M
N
F
．
又，为的中点．
过点作,垂足为，则是的中位线，
,，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为． 8分
(ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
y
x
B
C
O
A
D
E
图②

P
M
N
F
在中，．
过点作，垂足为．
,．
．
,．
,，
当时，(），此时点坐标为． 11分
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分
15、(08天津市卷26题)(本小题10分）
已知抛物线,
（Ⅰ）若，,求该抛物线与轴公共点的坐标;
（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（Ⅲ）若，且时,对应的；时，对应的,试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

解（Ⅰ）当,时，抛物线为，
方程的两个根为,．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤． 3分
①当时，由方程,解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分
②当时，
时，，
时,．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有 即
解得．
综上，或． 6分
(Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，;时，，
又，∴．
于是．而,∴，即．
∴． 7分
∵关于的一元二次方程的判别式
，
∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分
又该抛物线的对称轴，

x

由，，，
得,
∴．
又由已知时，；时,，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分

16、（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究
x
l
Q
C
P
A
O
B
H
R
y
如图,在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为，直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴，于,连结交轴于，直线交轴于．
（1）求证：点为线段的中点;
（2）求证：①四边形为平行四边形；
②平行四边形为菱形；
(3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由．

(1)法一:由题可知．
,，
． (1分）
，即为的中点． （2分）
法二：，，． （1分）
又轴，． （2分）
（2）①由（1）可知，，
，,
． （3分）
，
又，四边形为平行四边形． （4分）
②设,轴，则，则．
过作轴,垂足为，在中,
．
平行四边形为菱形． （6分）
(3)设直线为，由,得,代入得：
直线为． （7分）
设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：
，，解得．得公共点为．
所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分)

23