数列中公共项问题的研究.doc

(完整word)数列中公共项问题的研究
专题：数列中公共项问题的研究
一、问题提出
问题1：（1）两个集合和都各有100个元素,且每个集合中元素从小到大都组成等差数列,则集合中元素的最大值是多少？
(2)若将中元素按从小到大的顺序排列成数列，试求数列的通项公式。

问题2：若数列的通项公式为,数列的通项公式为．
设集合,．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．
对任意，，∴,∴
∵是中的最大数，∴,设等差数列的公差为,则
∴，即,又是一个以为公差等差数列，
∴，∴，∴．

二、思考探究
探究1：已知数列{｝的通项公式为，数列｛}的通项公式为．若将数列{}，｛｝中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列｛｝，
（1)求的值；961
（2）求数列的通项公式。
解：设，考察模7的余数问题；
若时经验证可得：
当时，存在满足条件的存在
故{}中的项目依次为:
可求得数列｛}的通项公式为：

探究2：已知数列和的通项公式分别为,.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为。
(1）试写出，，，的值,并由此归纳数列的通项公式;
（2）证明你在（1）所猜想的结论。
解：（1），,，，
由此归纳：.
（2） 由，得，
，由二项式定理得
,
当为奇数时,有整数解， .

类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题
(2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题（方法：余数分析法）
（3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题(方法：二项式定理）

探究3：已知数列｛xn｝和｛yn}的通项公式分别是xn＝an和yn＝（a＋1）n＋b(n∈N*）．
（1）当a＝3，b＝5时，
①试问x2，x4分别是数列{yn｝中的第几项？
②记cn＝x，若ck是数列｛yn｝中的第m项(k,m∈N*），试问ck＋1是数列{yn｝中的第几项?请说明理由;
（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈｛1，2}，使得数列{xn｝和｛yn｝有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列｛zn｝；若不存在，说明理由．
解　(1)由条件可得xn＝3n，yn＝4n＋5。
①令x2＝9＝ym＝4m＋5，得m＝1，故x2是数列｛yn}中的第1项．
令x4＝81＝yk＝4k＋5，得k＝19,故x4是数列｛yn}中的第19项．(2分)
②由题意知,cn＝32n，
由ck为数列{yn｝中的第m项，则有32k＝4m＋5,
那么ck＋1＝32（k＋1）＝9×32k＝9×（4m＋5)＝36m＋45＝4(9m＋10）＋5，
因9m＋10∈N*，所以ck＋1是数列｛yn}中的第9m＋10项．（8分)
(2）设在｛1，2}上存在实数b使得数列｛xn}和｛yn｝有公共项，
即存在正整数s，t使as＝（a＋1）t＋b，∴t＝，
因自然数a≥2，s，t为正整数,∴as－b能被a＋1整除．
①当s＝1时,t＝＜∉N＊，
②当s＝2n(n∈N*)时，当b＝1时，
＝＝－＝－［1＋（－a)＋(－a）2＋…＋(－a)2n－1]
＝(a－1）[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N＊,即as－b能被a＋1整除．
此时数列{xn｝和｛yn}有公共项组成的数列｛zn}；
显然，当b＝2时，
＝＝－∉N*，即as－b不能被a＋1整除．
③当s＝2n＋1（n∈N＊)时,t＝＝，
由②知，a2n－1能被a＋1整除，
若a＞2，则，故此时t∉N＊，
若a＝2,当且仅当b＝a＝2时，a－b能被a＋1整除，此时t∈N*，
此时数列{xn｝和{yn}有公共项组成的数列{zn}．
综上所述,a＝2时,存在b=1或b=2，使得数列{xn}和｛yn}有公共项组成的数列｛zn｝,
且当b＝1时，数列zn＝4n(n∈N＊)；当b＝2时，zn＝22n＋1(n∈N*）；
a＞2时，存在b=1，使得数列｛xn}和｛yn}有公共项组成的数列{zn}，
数列zn＝a2n(n∈N＊）．（16分）
【抢分秘诀】1．求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解,所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质,才能简化运算过程．
2．数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解．

探究4：设数列｛an｝的通项公式为，数列{bn｝的通项公式为bn＝3n－2．集合A
＝{x∣x＝an，n∈N*}，B＝{x∣x＝bn，n∈N*｝．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，
构成数列c1，c2,c3，…，则{cn｝的通项公式为___________.
解：因为 ,
；

所以 ，
即当时，；当
，当时,,
当时，
所以的通项公式是
即:

三、反思提升
四、反馈检测
1。 已知数列,。
（1）求证：数列为等比数列；
（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设，其中为常数，且，，求。
解：⑴∵=，∴，
∵∴为常数∴数列为等比数列
⑵取数列的连续三项，
∵,
，∴，即,
∴数列中不存在连续三项构成等比数列； —--———-—-9分
⑶当时，,此时；
当时，为偶数；而为奇数，此时；
当时,，此时；--—-—-———-—-----—-———----——-—-12分
当时,,发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求)。
由得,
设，则是上的减函数，∴ 的解只有一个
从而当且仅当时,即，此时；
当时，，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求)
从而当且仅当时,即，此时；
综上，当,或时，;
当时，,
当时，。 ————-——---—---——-——16分

2. 设数列｛an}的各项都是正数，且对任意n∈N＊都有a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2＋2Sn，其中Sn 为数列｛an｝的前n项和．
（1）求a1,a2；
(2）求数列{an｝的通项公式；
（3）bn＝，cn＝，试找出所有即在数列｛bn}中又在数列{cn｝中的项．
解：(1）令n＝1，则a13＝ S13＋2S1，即a13＝ a12＋2a1,所以a1＝2或a1＝－1或a1＝0．
又因为数列{an}的各项都是正数，所以a1＝2．
令n＝2，则a13＋a23＝ S22＋2S2，即a13＋a23＝（a1＋a2)2＋2(a1＋a2)，解得a2＝3或a2＝－2或a2＝0．
又因为数列｛an｝的各项都是正数,所以a2＝3．
(2）因为a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2＋2Sn （1)
所以a13＋a23＋a33＋…＋an－13＝Sn－12＋2Sn－1（n≥2) (2）
由（1）－(2）得an3＝( Sn2＋2Sn)－（Sn－12＋2Sn－1）＝(Sn－Sn－1)（ Sn＋ Sn－1＋2）＝an（ Sn＋Sn－1＋2），
因为an＞0,所以an2＝Sn＋Sn－1＋2 (3）
所以an－12＝Sn－1＋Sn－2＋2（n≥3） （4）
由(3)－（4)得an2－an－12＝an＋an－1，即an－an－1＝1(n≥3)，
又a2－a1＝1,所以an－an－1＝1(n≥2）．
所以数列｛an}是一个以2为首项,1为公差的等差数列．
所以an＝a1＋（n－1)d＝n＋1．
(3）Sn＝，所以bn＝＝,cn＝＝．
不妨设数列{bn}中的第n项bn和数列{cn｝中的第m项cm相同,则bn＝cm．
即＝,即＝．
1o 若＝≥，则n2＋3n－18≤0，所以1≤n≤3,
n＝1时，＝，无解；
n＝2时，＝，即5·2m－5m－5＝3·2m＋3m＋3，
所以2m＝4m＋4，m＝1,2,3，4时2m＜4m＋4;m≥5时,令f（m)＝2m－4m－4，则f(m＋1）－f（m）＝2m－4＞0，所以f（m）单调增,所以f(m）≥f(5）＝8＞0,所以2m＝4m＋4无解；
n＝3时＝,即2m＝2m＋2,
m＝1,2时，2m＜2m＋2；
m＝3时，2m＝2m＋2;
m＝4时，2m＞2m＋2；
m≥5时，2m＞4m＋4＞2m＋2．
所以，m＝3，n＝3．
2o 若 ＝＜,即2m＜2m＋2．
由1°知，当m≥3时，2m≥2m＋2.
因此，当2m＜2m＋2时，m＝1或2．
当m＝1时，＝0无解，
当m＝2时，＝无解．
综上即在数列｛bn｝中又在数列{cn｝中的项仅有b3＝c3＝．
【说明】本题考查数列的综合运用． 第(2)问考查an与Sn的关系,体现数列中最重要的数学思想方法；第（3）问考查学生从函数和集合论的角度看数列，自觉研究数列性质的能力，｛cn｝单调递减趋向1,{dn｝单调递增趋向2,所以{cn｝与｛dn｝的公共项只有可能在前面若干项中产生，经过列举可发现c3＝d3＝,所以可以为分界的数，来找｛cn｝与{dn}的公共项．