2019届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考(七)数学(理)试题(解析版).doc

2019届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考（七）数学（理）试题

一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先得到，再化简复数.
【详解】

.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题型.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解不等式得出集合B，根据交集的定义写出A∩B．
【详解】
,则
故选：C
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
3．在等差数列 中， 表示 的前 项和，若 ，则 的值为（    ）
A．                                           B．                                           C．                                           D．
【答案】C
【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得，在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。
【详解】
由题意可知，数列为等差数列，所以，
∴由等差数列的求和公式可得 ，故选C。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
4．已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.1359 B．0.906 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【解析】由题意可知，利用原则，计算结果.
【详解】
由题意可知

.
故选：A
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查原则和曲线的对称性，属于基础题型.
5．将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的得到，再向右平移个单位长度后
得到，，故选C.
6．已知点在函数的图象上，则下列四点中也在图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先计算，由此判断选项.
【详解】

，
点在函数的图象上时，点也在图象上.
故选：B
【点睛】
本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断.
7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是，则选择框里应该填入的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项.
【详解】
由程序框图可知，程序是求数列的和，
（）
根据裂项相消法可知

，
由题意可知，
解得：，这里 ，
进入循环，退出循环，
选择框里应填入.
故选：C
【点睛】
本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.
8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解.
【详解】
当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有种演出方法，
当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有种方案，则不同的演出方案有种方法，
综上，共有种方案.
故选：B
【点睛】
本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.
9．已知正项数列满足：，是的前n项和，则下列四个命题中错误的是（ ）
A． B．
C． D．是递增数列
【答案】D
【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知 ，，……，得到，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到，再求和证明；D.设数列是公比为4的等比数列，说明结论.
【详解】
A.，根据已知可知，
，故A正确；
B.，
，
由A可知 ，，……,
，
，故B正确；
C.由A可知……,，

，
由A可知 ，
，
，故C成立；
D.若数列是正项等比数列，并且公比，则，此时是常数列，不是递增数列，故D不正确.
故选：D
【点睛】
本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.
10．已知三棱锥中，，，，M，N分别为PB，PC的中点，则直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先将三棱锥补全如图所示的长方体，求球心到直线的距离，再求
直线MN被三棱锥外接球截得的线段长.
【详解】
由题意，将三棱锥补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点， ,即，
平面，平面，
，且
是等腰直角三角形，
点到直线的距离就是等腰直角三角形的高，
直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为.

故选：A
【点睛】
本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.
11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，则当最小时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据对称性得到，根据余弦定理得到，由三角函数的有界性得到得到的最小值.
【详解】
根据对称性知：，，故.
根据余弦定理：
，
故当，即时，有最小值.
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型.
12．已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.
【详解】
不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
【点睛】
本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立.

二、填空题
13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．
【答案】15
【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为
【考点】二项式定理
14．若变量满足约束条件则的最大值是_______.
【答案】
【解析】画出可行域分析最大值点即可.
【详解】
由题画出可行域,将目标函数化为,
易得在处取得最大值为.

故答案为：5
【点睛】
本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.
15．若，，均为单位向量，，的夹角为，且，则mn的最大值为________.
【答案】1
【解析】，再利用基本不等式求的最大值.
【详解】

，
，
，
，即 ，
等号成立的条件是 ，
的最大值为1.
故答案为：1
【点睛】
本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.
16．已知抛物线与直线在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若，则________.
【答案】4
【解析】首先判断直线过抛物线的焦点，方程联立求点的坐标，并得到，的值，求.
【详解】
直线当时，，
直线过抛物线的焦点，三点共线，
联立直线与抛物线方程， ，
得，
解得： ，，
，，
.
故答案为：4
【点睛】
本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.

三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到，再利用三角恒等变形得到的值；
（2）根据余弦定理得，变形求和三角形的面积.
【详解】
（1）在中，由正弦定理可得，
，
可得
得：，
,
,
，；
（2）由余弦定理得，
代入可得，
，
，
.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.
18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.

身体好
身体一般
总计
爱好体育锻炼

2

不爱好体育锻炼
4

总计
20

（1）根据以上信息完成列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？
（2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，
【解析】（1）首先求列联表，并计算，得到答案；
（2）由题意可知，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望.
【详解】
（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有人，
列联表如下表所示，

身体好
身体一般
总计
爱好体育锻炼
16
2
18
不爱好体育锻炼
4
8
12
总计
20
10
30

有的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.
（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人，
则
， , ,

0
1
2
P

.
【点睛】
本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.
19．如图，三棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面平面ABC；
（2）M是线段AC上一点，若，求二面角的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）过点S作于点H，连接BH，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；
（2）以点H为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的一个法向量为，，利用公式求二面角的大小.
【详解】
（1）证明：过点S作于点H，连接BH，在中，由，，，可得，，在中，由，，可得，，在中，由，，可得，在中，由余弦定理可得 ，即 ，
在中，，，，

又，，
平面，
平面，
平面平面.
（2）如图所示，以点H为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，
则，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则 ，即 ，
令，得 ，
于是，
又二面角为钝角，所以二面角为.

【点睛】
本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明.
20．如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，.

（1）求证：；
（2）若直线PQ过定点，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，代入斜率公式求；
（2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，再根据（1）的结论证明.
【详解】
（1）设
；
（2）设直线的方程是，设
与椭圆方程联立， 得： ，
， ，

，
,
由（1）可知，
两式消去，解得：.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
21．已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）由得，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；
（2）先对函数求导，得到，根据，判断函数的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究最小值的范围，即可证明结论成立.
【详解】
（1）当时，由，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，∴．
（2）由题意，函数的定义域为，，
令，，则，设，则，
易知在上单调递增，
∵，∴，，所以存在唯一的，使，
当时，单调递减，当时，，单调递增，
又∵，，
∴当时，，即在上无零点，
∴存在唯一的，使，即，
∵，∴，则．
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增．
∴，．
令，则在上单调递减，
∵∴，又∵∴，从而．
【点睛】
本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）曲线，分别交于，两点，求线段的长．
【答案】（1）：，：；（2）
【解析】（1）先消参得的普通方程，再由进行转换即可；
（2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），
转换为直角坐标方程为：，即，
转化为极坐标方程为：.
曲线的极坐标方程为，两边同乘，得，
即；
（2）联立，得或.
不妨设，，则.
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题.
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；
（2）讨论和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可.
【详解】
（1）时，或或，解得：，
所以不等式的解集为.
（2）①当时，，即.
∴时，取得最小值，∴，解得，
②当时，，所以时，取得最小值0，，故符合，
③当时，，所以时，取得最小值，∴，即得，
综上：．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.

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