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数形结合思想在解题中的应用

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18

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数形结合思想在解题中的应用

主讲人：黄冈中学高级教师　汤彩仙
一、复习策略
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法．它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化．“数缺形时少直观，形少数时难入微"，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质．
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查"，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能．
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与数学知识相结合",用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础．
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台．
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图,以图助解题．用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果,“数形结合千般好，数形分离万事休"．
二、典例分析
例1． （07全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4,则在内取值的概率为．
解：
　　在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,2）（〉0），正态分布图象的对称轴为x=1，在(0，1）内取值的概率为0.4,可知，随机变量ξ在(1，2）内取值的概率与在(0，1）内取值的概率相同，也为0。4，这样随机变量ξ在(0，2）内取值的概率为0.8．
例2．(2007湖南)函数的图象和函数的图象的交点个数是（　）
　　　A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1
解:由图像易知交点共有3个．选B。
例3．
　　　A。 1个　　　B. 2个　　　C. 3个　　　　D. 1个或2个或3个
解：
　　出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（B)．

例4．曲线y=1＋ (－2≤x≤2)与直线y=r（x－2)＋4有两个交点时，实数r的取值范围___________．

解析：方程y=1＋的曲线为半圆，y=r（x－2)＋4为过（2，4）的直线.
答案：(］
例5．
分析:

　　．
例6．求函数的最大值．
解：
　　由定义知1－x2≥0且2＋x≠0,∴－1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈［0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π］）与定点A(－2,0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈［0,π],即x2＋y2=1（y∈［0，1]）是半圆．
　　设切线为AT，T为切点，|OT｜=1，|OA｜=2．
　　∴，∴0≤kAM≤．
　　即函数的值域为［0,]，故最大值为．
点评：
　　(1）有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式-—可考虑与距离联系；二元一次式-—可考虑与直线的截距相联系．
　　（2）本题也可如下转化：令Y=，X=2＋x,则（X＋2）2＋Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圆（X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知．
变式1　
解法一(代数法）：,
．
．
．
．
解法二（几何法）：．
．
．

．
．
．
．
．
变式2　
分析：
　　转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元．
解：

　　．
　　第一象限的部分（包括端点）有公共点,（如图）．

　　相切于第一象限时，u取最大值．
　　．
　　．
　　．
例7．已知A（1,1)为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点。则｜PF1|＋｜PA｜的最大值为__________，最小值为_____________.
解：
　　由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1（－2，0），右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，｜PF1｜=2a－｜PF2｜=6－｜PF2｜，
　　∴｜PF1｜＋｜PA｜=6－｜PF2｜＋|PA|=6＋｜PA｜－｜PF2｜．
　　如图：

由|｜PA|－｜PF2｜|≤｜AF2｜=
知－≤｜PA｜–｜PF2｜≤.
当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号;
当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号。
即｜PA｜－｜PF2｜的最大、最小值分别为，－。
于是｜PF1|＋|PA｜的最大值是6＋，最小值是6－。
数形结合的热点专题
用导数探讨函数图象的交点问题
　　2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面（①与切线有关的问题；②函数的单调性和单调区间问题;③函数的极值和最值问题；④不等式证明问题；⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题）考查了学生对导数的掌握水平．
　　但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新．福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题,福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题,湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题．从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化,由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题．
　　试题“以能力立意”的意图表现明显,试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究．考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力．
　　如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题．
例8．（福建理科第21题）已知函数f（x）=－x2＋8x，g(x）=6lnx＋m．
　　（1）求f（x）在区间［t,t＋1]上的最大值h（t）;
　　（2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？
　　若存在,求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解:
　　（1）
　　当即时，在上单调递增，

　　当即时，
　　当时，在上单调递减，

　　综上，
　　（2)∵函数y=f（x)的图象与y=g（x)的图象有且只有三个不同的交点,
　　∴令f(x）= g(x)，∴g(x)－f（x)=0．
　　∵x〉0，∴函数(x)=g（x)－f（x) =－8x＋6ln x＋m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
　　∵
　　当x∈（0,1）时,〉0，是增函数;当x∈(1,3)时，<0，是减函数；
　　当x∈（3,＋∞)时，>0,是增函数;当x=1或x=3时,=0．
　　∴当x=1时，(x)有极大值m－7，当x=3时，（x)有极小值m＋6ln3－15．
　　∵当x→0＋时,（x）→，当x时,(x)
　　∴要使（x）=0有三个不同的正实数根，必须且只须
　　∴7〈m〈15－6ln 3.
　　所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7,15－6ln 3）。 （分析草图见下图1）

引申1:如果（2）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”,怎么解答呢?
　　前面相同,只需把后面改为m＋6ln3－15>0或m－7<0，即m〉15－6ln3 或m〈7时，函数y=f（x）与y=g(x）的图象有且只有一个不同的交点(分析草图见图2和图3）．
引申2：如果（2）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点"，怎么解答呢？
　　前面相同，只需把后面改为m＋6ln3－15=0或m－7=0，即m=15－6ln3 或m=7时，函数y=f（x)与y=g（x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）．

　　从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f（x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数(x)= f(x)－g（x)；②求导;③研究函数（x）的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数（x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解．
　　解题的关键是会用数形结合思想来研究问题．
　　下面用这几个步骤来完成2006年福建文科卷第21题．
例9．(福建文科卷第21题)已知是二次函数,不等式的解集是且在区间上的最大值是12．
　　（1)求的解析式；
　　(2)是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

解：
　　(1）是二次函数，且的解集是
　　∴可设
　　在区间上的最大值是
　　由已知，得

　　（2)方程等价于方程
　　设则
　　当是减函数；
　　当时，是减函数；
　　当时，是增函数．

　　∴方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根．
　　从上面的探讨,我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习,还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力．
例10．(四川卷第21题)已知函数其中是的f(x）的导函数．
　　（1）对满足的一切的值，都有求实数ｘ的取值范围;
　　（2）设，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f（x）的图像与直线ｙ＝3只有一个公共点．
解：
　　（1)由题意．
　　令，．
　　对，恒有,即．
　　∴即解得．
　　故时，对满足的一切的值，都有．
　　（2)．
　　①当时，的图象与直线只有一个公共点．
　　②当时，令（x）= f（x）－3=，==．
　　列表：

（

0
－
0

(x)
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
　　〈－4．
　　又∵(x)的值域是，且在上单调递增．
　　∴当时函数的图象与x轴只有一个公共点．
　　当时，恒有．
　　由题意得．
　　即．
　　解得．
　　综上，的取值范围是．

　　当然,题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化．如:2006年福建文科卷21题．
例11．对于公比为2，首项为1的等比数列,是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论．
解：
　　设等比数列，则，设等差数列通项对应的函数为,等比数列通项对应的函数，
　　由，由,设，则．
　　当时，显然，即为单调递增函数，故至多与轴有一个交点，即方程至多有一个根；
　　当时,若，则;若,则；
　　故在为减函数；在为增函数;
　　因此的图象在上与轴至多一个交点，在上亦至多一个交点，从而在上与轴至多有两个交点,即方程至多有两个根；
　　综合以上可知,方程组至多有两根，即这两个方程表示的函数图象至多有两个交点．由于指数函数与一次函数图象至多有两个交点．若在等比数列中存在满足条件的三项成等差数列,则必有三点共线，即直线与必有三个交点，这不可能,所以不可能存在符合要求的等差数列．
例12．如图，已知的面积为,,且，
　　（1）若以为中心,为焦点的椭圆经过点，当取得最小值时,求此椭圆的方程；
　　（2)在（1)的条件下,若点的坐标为，是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围．

解：
　　（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设所求的椭圆方程为,点坐标为,则，因为的面积，
　　又由，
　　,,当且仅当时,最小，此时点的坐标为，由此可得．故所求的方程为．
　　（2)解法一：设的坐标分别为,
　　则由

　　∵点在椭圆上，∴
　　消去，得
　　又∵∴
　　因为是不同的两点,所以．
　　∴实数λ的取值范围是
　　解答二:设点的坐标分别为（0,）、（0，－），过点分别作轴的垂线，交直线于点.

　　若∴1
　　则
　　若同理可得
　　综上，实数λ的取值范围是