三角函数图像变换顺序详解.doc

(完整版)三角函数图像变换顺序详解
《图象变换的顺序寻根》
题根研究  

一、图象变换的四种类型
从函数y = f (x)到函数y = A f (）+m，其间经过4种变换：
1。纵向平移 -— m 变换 2。纵向伸缩 —— A 变换
3。横向平移 —- 变换 4.横向伸缩 —— 变换
一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量"可不尽相同，解题的“风险性”也不一样。
以下以y = sinx到y = Asin （）+m为例，讨论4种变换的顺序问题.

【例1】 函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到?
【解法1】 第1步，横向平移：
将y = sin x 向右平移，得
第2步，横向伸缩：
将的横坐标缩短倍，得
第3步：纵向伸缩：
将的纵坐标扩大3倍，得
第4步：纵向平移：
将向上平移1，得

【解法2】 第1步，横向伸缩：
将y = sin x 的横坐标缩短倍，得 y = sin 2x
第2步，横向平移:
将y = sin 2x 向右平移，得
第3步，纵向平移：
将向上平移,得
第4步，纵向伸缩：
将的纵坐标扩大3倍，得

【说明】 解法1的“变换量"（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量(如右移)与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大。

【质疑】 对以上变换，提出如下疑问:
（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？
（2）在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—-
如当〈0时对应右移（增方向)，而m 〈 0时对应下移（减方向）？
(3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反-—
如｜｜ > 1时对应着“缩”，而｜ A | 〉1时，对应着“扩”？

【答疑】 对于(2)，（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f （）+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式
(y+） = f （）,则x、y在形式上就“地位平等"了。
如将例1中的变成
它们的变换“方向”就“统一”了。
对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变"？这是因为在“一次”替代:x→中，平移是对x进行的.
故先平移(x→）对后伸缩(→)没有影响；
但先收缩（x→）对后平移（→)却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.

【说明】 为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx变到Asin () (> 0) 的途中，采用如下顺序:
（1）横向平移:x→
（2）横向伸缩：x+→
（3）纵向伸缩：sin （) → Asin ()
(4)纵向平移：Asin （) → Asin （） + m
这正是例1中解法1的顺序.

二、正向变换与逆向变换
如果把由sin x 到Asin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin （）+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.
因为正向变换的一般顺序是：
(1）横向平移，（2)横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.
所以逆向变换的一般顺序则是：
（1)纵向平移，（2）纵向伸缩,（3）横向伸缩,（4）横向平移.
如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x－），再将纵坐标缩小一半得y= sin（2 x－)，再将横坐标扩大2倍得y= sin(x－)，最后将图象左移得函数y= sinx。
【例2】 将y = f (x）·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x 。 试求f (x）的表达式.
【分析】 这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”。 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.

【解析】 将y = 2sin2 x 下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反）,
得 y = 2sin2 x－1，再将 2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）
得
令 f （x)·cos x = 2sin x cos x 得 f (x） = 2sin x

【说明】由此得原函数为y=f（x）cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x。
因为2sin2x=1+sin(2 x－)，所以下移1个单位得sin（2 x－）,左移得sin2x。

三、翻折变换 使> 0
平移变换x→是“对x而言”,由于x过于简单而易被忽略。
强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x）左移而得。
其实，x或y的系数变 -1,也对应着两种不同的图象变换：由x→ - x对应着关于y轴的对称变换，即沿y轴的翻折变换;由f （x) → - f （x)对应着关于x轴的对称变换，即沿x轴的翻折变换。

【例3】 求函数的单调减区间.
【分析】 先变换 -3x→3x，即沿y轴的翻折变换.

【解析1】 ，转化为求g（x)=sin（3x－)的增区间
令 ≤≤
≤ x ≤（f(x)减区间主解）
又函数的f（x）周期为，故函数f（x）减区间的通解为
≤ x ≤

【解析2】 的减区间为
≤≤
即是 ≤ x ≤

【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知，求f(x)的减区间,实际上分两步进行：
（1)先求得f(x）减区间的主解≤ x ≤
（2)再利用主解进行横向平移(的整数倍）即得f（x）减区间的通解。

【思考】 本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键。 否则，如果去解不等式组

将会使你陷入歧途，不防试试！