相似存在性问题.doc

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相似存在性问题解析
相似存在性问题分析思路

（1）定方向：直角三角形相似；等腰三角形相似；一般三角形相似
（2）定分类： 结合已知选用恰当的分类方法进行分类。（SSS、SAS、AA）
（3）定解法：（1）无角相似；恰当的选择相似三角形对应边的比建立方程求解（2）有角解直；出现特殊角度的可以考虑解直角三角形。
（4）定结果：将结果汇总。

模型一：直角三角形相似问题
例1：如图，矩形在平面直角坐标系中位置， ，，直线与边相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．
y
O

C
D
B
6
A
x

A
M
P1
P2

分析：（1）定方向：△OCD是两条直角边分别为3和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。
（2）定分类：如上图，△POM与Rt△OCD已经有一对内错角∠PMO=∠COD。所以△POM只要还有一个直角就可以利用AA判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：∠OPM=90°和∠POM=90°
（3）定解法：求P点坐标，横坐标为3，只需要求纵坐标。由于是Rt△POM斜边的一部分。所以利用直角边和斜边对应成比例建立方程求解。
（4）定结论：两种情况汇总。
解：（1）点的坐标为．
（2）抛物线的表达式为．
（3）情形一：当∠OPM=90°时，
易证：．
∵抛物线的对称轴，
∴点的坐标为．
y
O

C
D
B
6
A
x

A
M
P1
P2
情形二：当∠POM=90°时，
由可得：

则
设
则；；OD=5，OC=3，CD=4
①∽Rt△DOC；；解之：
∴点的坐标为，
②∽Rt△ODC；；解之：
综上所述：，
练习1：已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；

答案：（1）
（2）
①，

，
∴，
∵点在第四象限，∴
② △EDB∽△COA
，
，∴，
∵点在第四象限，∴．
综上所述：；
点睛：若去掉“点在第四象限”这个条件，则还有两种情况，它们都位于x轴的上方。可以利用对称性求解更为简洁。

例2：如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

分析：（1）定方向：△OAC是两条直角边分别为2和4的直角三角形。则为直角三角形的相似问题。
（2）定分类：△OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、AM短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。

（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。
（4）定结论：两种情况汇总。
解：（1）
（2）存在．设
情形一：当时，
；AO=4；OC=2。
① 若△PMA∽△COA
；
② 若△PMA∽△OCA
；
则
情形二：当时，
；AO=4；OC=2。
③ 若△PMA∽△COA
；
④ 若△PMA∽△OCA
；
则
情形三：当时，
；AO=4；OC=2。
⑤ 若△PMA∽△COA
；
⑥ 若△PMA∽△OCA
；
则
综上所述：、、
练习2：如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．过点A作AP∥CB交抛物线于点P
（1）求A、B、C三点的坐标．

C
P
B
y
A

（2）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

分析：
G
M

C
B

y
P
A

G
M

C
B

y
P
A

答案：（1）A B C
（2）存在，M点的坐标为，，
模型二：等腰三角形相似问题
例3：如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点E，使△EAB与△ABC相似？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析：（1）定方向：△ABC是等腰三角形。则为等腰三角形的相似问题。
（2）定分类：△OAC是一个直角三角形。只要夹直角的两条对应边成比例就可以利用SAS判定这两个三角形相似。所以分为两种情况：PM长边、AM短边和PM短边、AM长边。但是由于P点位置不确定，所以P点又有三种情况，如下图。所以共有6种情况。

（3）定解法：求P点坐标，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM两条直角边。所以利用两条直角边对应成比例建立方程求解。
（4）定结论：两种情况汇总。
解：（1）y=(x-4)2－
（2）由（1）得：A(1，0)，B(7，0) ，C(4，)
易证：AC=BC,且∠ACB=120°。
情形一：AB为腰：以A为圆心，AB为半径构造△BEA∽△ABC,
则AE=AB=6，∠BAE=120o，
∴在Rt△AEG中：AE=6，∠EAG=60o
∴EG=3，AG=3，
此时点E(-2，)，
经检验:E(-2，)都在抛物线上
情形二：：AB为腰：以B为圆心，BA为半径构造△BEA∽△CBA
则BE=AB=6，∠ABE=120o，
∴在Rt△AEG中：BE=6，∠EBG=60o
∴EG=3，BG=3，
点(10，)
经检验:E(10，)都在抛物线上
情形三：AB为底：当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是(4，)，
综上所述，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．
点睛：由于E的坐标可能不在抛物线上，所以“经检验”必不可少。

练习3：如图，抛物线与轴的交点为M、N．直线与轴交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线上．且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点。OH为Rt△OPC斜边上的高．
(1)OH的长度等于 ；k= ，b= ．
(2)是否存在实数a，使得抛物线上有一点F．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．

答案：OH=1,
（2）△AOB为等腰直角三角形。
情形一：DN为腰：以D为圆心，DN为半径构造等腰直角△EDN∽△AOB,
点E(2，3)
则
情形二：DN为底：以B为圆心，BA为半径构造等腰直角△BEA∽△CBA
点E(3.5，1.5)
则
综上所述，或
例1：抛物线的图像如图所示，直线x=3与抛物线相交于点B，过原点O与抛物线的顶点A的直线与x=3相交于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ABP与△ABC相似。存在求出Ｐ点坐标。不存在说明理由。

解：Ａ（２，１），Ｂ（３，３），Ｃ（３，）
则BC=,AB=。设P（2，a）
情形一：△PAB∽△CBA
则
a=
P()
情形二：△PAB∽△ABC

a=
P()
综上所述：P()、()

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