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数学建模教案设计

要 求

应用和创新是数学建模的特点，也是素质教育的灵魂；不论用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科想结合形成交叉学科，首先的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型。在高科技，特别是计算机技术迅速发展的今天，计算和建模正成为数学科学技术转化的主要途径。本课程旨在提高学生数学应用能力和数学知识的获取能力。
根据课程特点，要求同学们做到一些几个环节：
1、认真听讲，认真体会，善于思考，勤于总结。
2、学会查阅资料，认真完成作业，要勤于动手，做好每一个实验，认真对待每一个计算步骤。
3、有问题及时提问，及时解决。
参考书
1．《数学模型》 谭永基 复旦大学出版社 1997年
2．《数学模型》 姜启源 高等教育出版社 2003年
3．《数学建模与数学实验》 赵静 但琦 高等教育出版社 2000年
4．《大学生数学建模竞赛辅导教材》 叶其孝 湖南教育出版社 2003年
按学校规定，缺交作业或缺课达1/3者不得参加本课程的考试。

前 言

1、数学史简介(包括数学建模史)
数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，它的内容是从实际中抽象出来，与实际想脱离的，但在它生产和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。
数学具有三大特点：
（1）、抽象性
（2）、严密性
（3）、应用的广泛性
数学的任务和发展动力
应用是数学的主要任务，也是数学发展的主要动力。
数学的发展阶段
数学发展经历了五个主要阶段
主要阶段
时期
主要成果
主要事件
萌芽时期
-3500到-600
无演绎推理和公理法
三次数学危机发生在-500，1754，1897年
初等
数学
时期
希腊文明
-600到641
论证数学逐渐形成[1]
中世纪
641到1300

文艺复兴
1300到1640
日心说动摇神学，自然科学解放[2]
变量数学时期
1640到1920
微积分的诞生[3]
近代数学时期
1920到1945

现代数学时期
1945到

[1]雅典时期，泰勒斯，毕达哥拉斯开始对命题加以证明（勾股定理，无理数），没留下书籍；亚历山大时期，欧几里德，阿基米德，阿波罗泥，海伦，丢番图等作出了永载史册的功绩。
[2]三次四次方程的求根公式，韦达和符号代数学，三角的发展，小数与对数的发明。笛卡儿力求用代数的方法来解决几何问题，建立了解析几何，标志着变量数学时期的到来。
[3]牛顿和莱布尼兹创立了微积分，通过微积分的完善建立了分析数学。
数学建模是指用数学的语言和方法对实际问题进行近似地刻划和描述，数学建模并不是中新事物，自从有了数学并用数学去解决问题时，就有了数学建模。纵观人类历史上进行过的三次重大的科学技术革命，每一次都是渗透着数学的应用，都是数学建模过程。但将数学建模作为一门专门的学科和课程历史还很短。
（待续）
2、数学建模教学的培养目标
（1）、培养翻译能力
（2）、应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一点新的数学知识，并能理解合理的抽象和简化，特别是进行数学分析的重要性。
（3）、发展联想能力。
（4）、逐渐发展形成一种洞察力。
（5）、熟练使用技术手段。
3、数学建模竞赛（MCM）由来和历史
1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The William Lowell Putnam mathematical Monthly,简称 Putnam(普特南)数学竞赛）自1938年起已举办50届，普特南数学竞赛在吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，鼓励各数学系更好地培养人才方面起了很大的作用，事实上一批优秀数学家就曾经是它的获奖者。
（待续）

第1章 建立数学模型

[教学目的和要求]
本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和一般步骤，让学生对数学模型有一个全面的初步的了解。
[教学内容]
§1．1 从现实对象到数学模型
本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。
原型和模型
原型（Prototype）和模型（Model）是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（System）、过程（Process）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物。
特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。例如：
展厅里的飞机模型： 外形上逼真，但是不一定会飞；
航模竞赛的模型飞机： 具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求；
飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。
模型的分类
用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、数学模型。
直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。
物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。 如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。
思维模型 指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。通常说的某些领导者凭经验做决策就是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获的满意的结果，是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。
符号模型 是在一些约束或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描绘原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。
数学模型 是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
上面数学模型的概念还很模糊，我们下面仔细谈谈什么是数学模型。
数学模型
什么是数学模型
航行问题：甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速，水速各若干？
用x，y分别代表船速和水速，则可以得到如下两个方程
（x+y）·30=750 ，（x-y）·50=750
实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
从上例中，我们可以看出建立数学模型的基本内容。
建立数学模型的基本内容：
1． 据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（上例中，假设航行中船速和水速为常数）；
2． 用字母表示待求的未知量（上例中，x，y代表船速和水速）；
3． 利用相应的物理或其它规律（上例中，匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（上例中，二元一次方程）；
4． 求出数学上的解答（上例中，x=20，y=5）；
5． 利用解答解释原问题（上例中，船速和水速分别为20km/h和5km/h）
6． 最后利用实际现象来验证上述结果。
数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必须的简化假设，运用恰当的数学工具，等到的一个数学结构。
本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型（Mathematical Model）是什么样子,而是要讨论建立数学模型（Mathematical Modelling）全过程。建立数学模型简称为数学建模或建模。

§1．2 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？
模型假设 对椅子和地面作一些必要的假设：
1． 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
2． 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
3． 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线成正方形，以中心为对称点，正方形的中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点O旋转角度后，正方形ABCD转至的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,
那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A,C两脚与地面距离之和为f（），B,D两脚与地面距离之和为g（）（f（），g（）0）。有假设2，f和g是连续函数。又假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f（）和g（）中至少有一个为零。当=0时不妨设g（）=0，f（）>0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知f（）和g（）是的连续函数，对任意，f（）·g（）=0，且g（0）=0，f（0）>0。证明存在，使f（）=g（）=0.
模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的一种。
将椅子旋转，对角线AC与BD互换。由g（0）=0和f（0）>0可知g（/2）>0和f（/2）=0。
令h（）=f（）-g（），则h（0）>0和h（/2）<0。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在（0<</2）使h（）=0，即f（）=g（）.
最后，因为f（）·g（）=0，所以f（）=g（）=0.
由于这个实际问题非常直观和简单，模型的解释和验证就略去了。
评注 这个模型的巧妙之处在与用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。

§1．3 商人怎样安全过河
三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两人，有他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？
模型构成 记分别表示地k次渡河前此岸的商人数和随从数，定义为状态，显然允许状态集为

分别表示地k次渡船上的商人数和随从数，为决策变量；允许决策集为

状态转移方称

求解：

§1．４　人口增长模型
预报人口增长：
（１） 指数增长模型
（２） 阻尼增长模型

§1．5 建立数学模型的方法和步骤
数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得的模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，使用与一切实际问题的数学建模方法。下面所谓的基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。
数学建模的基本方法
一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理过现实意义。§1.2中的例子就是用的机理分析。测试分析将研究对象看作一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入，输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决与人们对研究对象的了解程度和建设模的目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特性（例如仅用于对输出作预报），那么就可以用测试分析。
对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数。
机理分析当然针对具体问题来做，不可能有同意的方法，因而主要是通过实例研究（Case studies）来学习。测试分析有一套完整的数学方法。本课程所说的数学建模主要是只机理分析。
数学假模的一般步骤
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质、建模目的等有关。下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程，如下图所示.
模型准备

模型假设

模型构成

模型检验

模型分析

模型求解

模型应用

模型准备 了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象、数据等，尽量弄清对象的主要特征形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。
模型假设 根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设作的不合理或太简单，会导致错误或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一部的工作。常常需要再合理与简化之间作出恰当的折衷。
模型构成 根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等。建模时应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。
模型求解 可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术。
模型分析 对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的敏感性分析、对假设的强健性分析等。
模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模，如图中的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。
模型应用 应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关，本课程一般不讨论这个问题。
数学建模的全过程
数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如下图所示。

数学模型
现实对象的信息
表述
（归纳）

验证 求解 （演绎）
现实对象的解答
数学模型的解答
解答

表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求解则属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以正确的归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是不精细的、带感性的，不易直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象、作出科学预见具有重大意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只能在这个前提下保证其正确性。因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。
解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或者控制的结果。最后，作为这个过程的重要的一环，这些结果需要用实际的信息加以验证。
上图揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实践——理论——实践这一循环。

§1．6 数学模型的特点和建模能力的培养
通过前面的学习，我们看到用建模方法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，即构造模型，其次才是用数学工具求解构成的模型。用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，除了需要广博的知识和足够的经验之外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。
想象力指人们在原来知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维活动。洞察力知人们在充分占有资源的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
比类方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们的运用与想象力、洞察力有密切关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么对象进行类比，比较哪些相似的属性，在一定程度上是靠想象进行的。将交通流与水流类比来建立交通流模型是这方面的例子。理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理想状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条件下把物体看作质点，把实际位置看成数学上的点、线等理想化的结果。
直觉和灵感在数学建模中往往也起着不可忽略的作用。直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断，灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。二者都具有突发性，且思维者本人往往说不清它的来路和道理。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处。直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰难探索对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素。
掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，需要作好这样两条：第一，学习、分析、评价、改造别人作过的模型。首先弄懂它，分析为什么这么作，然后找出它的优缺点，并尝试改进的方法。第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。为了这个目的，本课程主要将采取实例研究方法。

[教学重点与难点]
了解数学建模的一般步骤和方法，体会如何用数学的语言和方法表述和解决实际问题。
[思考题]
１、§1．2的方桌问题（推广到长方形）
2、跑步问题：在任何5min的时间区间内均不能跑500m，问10min 内能否恰好跑1000m。
提示：
第2 章 MATLAB语言

[教学目的和要求]
了解MATLAB在主要功能，掌握MATLAB的基本命令和语法；会利用MATLAB编写程序。
[教学内容]
1．MATLAB语言的特点与工作原理
2．MATLAB命令与文件的编辑
3．MATLAB语言应用举例
[教学重点与难点]
MATLAB的基本命令和语法，难点是利用MATLAB编写程序。
[练习实验题]
1、随机产生两个矩阵A,B(都为10x10的方阵),计算A+B和AB
2、计算自然底数e(精确到)

第3章 初等数学方法建模
[教学目的和要求]
通过用简单的数学方法对一些饶有趣味的实际问题的解决，进一步了解建模的方法，让学生认识到衡量模型优劣的标准是应用的效果而不是采用多么高深的方法。
[教学内容]
§3．1 公平的席位分配
某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表1第2列所示。仍按比例（表中第三列）分配席位时出现了小数（表中第4列），在将取得整数的10席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4席（表中第5列）。
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6，7列。显然这个结果对丙系太不公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。
请提出新的分配方法。

系 学生人数 学生人数 20个席位的分配 21个席位的分配
别 的比例（%） 比例分配 参照惯例 比例分配 参照惯例
甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11
乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21

分析：从表中可见，分配的席位从20->21,丙队名额从4->3，显然是不合理的。为了给出席位分配方案，我们先讨论A,B两方的席位分配方案。
设两方的认输为,占有席位为; 如这样不公平程度可用来衡量；但这是一个绝对指标，有其不合理性，如 =120, =100, = =10 及 =1020, =1000, = =10两种情况指标值是一样的。
所以我们引入相对指标

为对A的不公平度。
如,可定义对B的不公平度

当总席位增加一个时，要么分给A要么分给B,不失一般性可设，即对A不公平。当再分配一个席位时可能有以下3种可能。
1、 ，说明给A增加一个仍然对A不公平，自然分给A。
2、 , 说明给A增加一个席位对B不公平，计算rb(n1+1,n2)。
3、 ，说明给B增加一个席位对A不公平，计算ra(n1,n2+1)。
这样如果则给A方，否则给B.
而上式又等价于

这样我们定义
，

增加的一席分配给Q值较大的一方。这种席位分配的方法称为Q值法。

§3．2 划艇比赛的成绩
赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇，八人艇四种。各种艇虽然大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次2000m比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表5第1到6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某中联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。
200m成绩t（min） 艇长l 艇宽b 艇重(kg)
艇种 1 2 3 4 平均 (m) （m） l / b 桨手数n
单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 0.293 27.0 16.3
双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 0.356 27.4 13.6
四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 0.574 21.0 18.1
八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0 14.7

问题分析 赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多，划艇前进的动力越大。但是艇与桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大。建模目的是寻找桨手数量与比赛成绩之间的数量规律。
从上表中可以看出，桨手数增加时，艇的尺寸，及艇重都随之增加，但比值和变化不大。若假定是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。
模型假设
1． 各种艇的集合形状相同，为常数；艇重与桨手数成正比。这是艇的静态特征。
2． 艇速是常数，前进时受的阻力与成正比（是艇浸没部分面积）。这是艇的动态特征。
3． 所有桨手的体重都相同，记作；在比赛中每个桨手的划浆功率保持不变，且与成正比。
模型构成
有名桨手的艇的总功率与阻力和速度的乘积成正比，即
（1）
由假设2，3

代入（1）式可得
（2）
由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积与艇的某特征尺寸的平方成正比（），则艇的排水体积必与的立方成正比（），于是有
（3）
又根据艇重与桨手数成正比，所以艇和桨手的总重量也与成正比，即
（4）
而由阿基米德定律，艇排水体积与总重量成正比，即
（5）
由（3），（4），（5）有
（6）
将（6）代入（2）式，当是常数时得到
（7）
因为比赛成绩（时间）与成反比，所以就得到了
（8）
模型检验
设与的关系为

和为待定系数。对上式两边取，得到

利用最小二乘法根据所给数据拟合上式，得到

可以看出（8）式与这个结果吻合得相当好。

§3．3 录象机计数器的用途

老式的录象机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况。这种计数器有什么用呢，让我们从这样一个问题开始：一盘表明180分钟的录象带从头转到尾，用时184分钟，计数器从0000变到6061。在某一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下一小时的节目。
如果计数器读数随着录象带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6041的三分之二，即录象带已经转了两小时多，所以显然不能再录一小时的节目。但是你细心地观察一下就会发现，读数并非均匀增长而是先快后慢，这样，回答上面的问题就需要知道读数器读数与录象带转过的时间之间的关系。本节目的就是建立表述这个关系的数学模型。
首先，我们要找出计数器读数（记n）与录象带转过的时间（记t）之间的关系，即建立一个数学模型.
模型假设
1、 录象带的线速度是常数v;
2、 计数器读数n与右轮盘转的圈数（m）成正比，m=kn,k为比例系数；
3、 录象带厚度是常数w,空右轮盘半径为r；
4、 初始时刻t=0时n=0.
模型建立
由录象带转m圈的长度和线速度的关系得

考虑到w比r小得多及m=kn易得

当然还可以用其他的办法得到此式。
将上式的两个系数分别记为a和b即得

通过实验数据（如下表）经拟合得
a=0.00000261,b=0.0145
这样题目中的问题就可以解决了。
t
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
n
0
617
1141
1601
2019
2403
2760
3096
3413
3715
t
100
110
120
130
140
150
160
170
184

n
4004
4280
4545
4803
5051
5291
5525
5752
6061

§3．4 双层玻璃的功效
你是否注意到北方城镇的一些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层的玻璃且中间留有一定空隙，如下图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如图三右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。

墙 墙
d d 2d
热传导方向
墙 墙

图 双层玻璃与单层玻璃

模型假设
1. 热量的传播过程只有传导，没有对流。
2. 室内温度和室外温度保持不变，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成 热传导过程遵循以下的物理定律：
厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与成正比，与d成反比，即
（1）
为热传导系数。
记双层窗内层玻璃的外侧温度是，外层玻璃的内侧温度是，玻璃的热传导系数是，空气的热传导系数是，由（1），单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为
（2）
由（2）可以得
（3）
对于厚度为2的单层玻璃，容易写出其热量传导为
（4）
两者之比为
（5）
显然。由物理学的相关知识，有

保守估计，取/=16，又.我们可以看出只与有关，是的减函数。

§3．5 动物的身长和体重
四足动物的躯干的长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有一定的实际意义。比如在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。
动物的生理结构因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值的模型。这里我们仅在十分粗略的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长与体重间的比例关系。
把四肢动物的躯干看做圆柱体，长度、直径、断面面积，入下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用一些弹性力学的一些研究结果。
设动物在自身体重f 作用下躯干的最大下垂为b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究
（1）
因为，所以
（2）

四足动物躯干示意图

动物躯干的相对垂度。太大，四足将无法支撑；太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言已经达到其最合适的数值，换句话说，应视为与这种动物的尺寸无关的常数，于是由（2）式得到

再从，，以（3）式代入可得

即体重与躯干长度的4次方成正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。

[教学重点与难点]
如何将讲解的几个实际问题归结为数学问题，并进行求解。
[练习实验题]
学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：
（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。
（2） Q值方法：
m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算
，i=1，2，…，m
把这一席分给Q值大的一方。
（3） d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：

1 2 3 4 5 …

A 235 117.5 78.3 58.75 …
B 333 166.5 11