第二节二重积分的计算.ppt

10.2 二重积分的计算二重积分的计算10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分 二重积分的计算方法是二重积分的计算方法是:将二重积分化为将二重积分化为二次二次积分积分(累次积分累次积分)来计算来计算.现根椐二重积分的几何意义现根椐二重积分的几何意义:的的值值等于以区域等于以区域D为底为底,曲面曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积,考虑考虑二重积二重积分分的计算的计算.0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x (y)Q(y)=I=c y d0 xz ydD:(y)x (y)c y dQ(y)=I=z=f(x,y)x=(y)1.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间c,d上连续上连续.即即二重积分的计算有两种积分顺序二重积分的计算有两种积分顺序2.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.3.若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(利用积分区域的可加性利用积分区域的可加性)则则必须分割必须分割.例例1 求求解解所围所围平面闭区域平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点特殊地特殊地,D为矩形域为矩形域:a x b,c y d.即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.则则则则如如D是上述矩形域是上述矩形域,解解例例2 求求 其中其中D 是以是以为顶点的三角形为顶点的三角形.所以所以,积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序.因因 无法用初等函数表示无法用初等函数表示,例例3 交换积分次序交换积分次序:解解 积分区域积分区域:原式原式=解解例例4 计算积分计算积分所以所以,先交换积分次序先交换积分次序.因因 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,而且又是能否进行计算的问题而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分一定要放在后面积分.例例5 求证求证对于左边的累次积分对于左边的累次积分,先交换积分次序先交换积分次序.积分区域积分区域:可表为可表为:证证10.2.2 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素在极坐标系下在极坐标系下,一般化成一般化成1.极点在区域极点在区域D 的外面的外面2.极点在区域极点在区域D 的边界上的边界上(曲边扇形曲边扇形)极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积3.极点在区域极点在区域D 的内部的内部 直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为 2.积分区域积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成是由圆弧、或圆弧与直线所围成.常用极坐标计算常用极坐标计算因此因此 在极坐标下在极坐标下 1.若被积函数形如若被积函数形如解解例例6 写出积分写出积分的极坐标二次积分的极坐标二次积分形式形式,其中积分区域其中积分区域在极坐标系下在极坐标系下,圆的方程为圆的方程为直线的方程为直线的方程为解解a例例7 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下注注D2例例8 计算计算分析分析:因被积函数因被积函数故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1解解例例9 将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式r=Ry=R xD1D2R0y xDarctanR解解设区域设区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量 y为为偶偶函数函数.oxyD1则则D1为为D在第在第 一象限中一象限中的部分的部分,则则如果如果 f(x,y)关于变量关于变量y为为奇函数奇函数 我们经我们经常常利用被积函数的利用被积函数的奇、偶性奇、偶性和积分区域和积分区域的的对称性质对称性质简化重积分的计算简化重积分的计算.10.2.3 对称性二重积分对称性二重积分如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x为奇函为奇函数数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设区域设区域D关于关于y轴对称轴对称,D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,D1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0AD1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=I2=而而 I1=D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数而而 I2 =是是关于关于x的偶函数的偶函数,关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 D1D2D3D4 10.2.4 二重积分的变量替换二重积分的变量替换 变换变换且满足且满足:具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(2)且雅可比行列式且雅可比行列式定理定理10.1 设设 f(x,y)在在xOy平面上的闭区域平面上的闭区域 上连续上连续,则则基本要求基本要求:变换后定限简便变换后定限简便,求积分容易求积分容易.注注 意意解解 作作广义极坐标广义极坐标变换变换所围成的所围成的闭区域闭区域.在这变换下在这变换下例例10 计算计算 其中其中D为椭圆为椭圆解解 令令则则即即例例11 计算计算 其中其中D是由是由 x 轴、轴、y轴和轴和直线直线 所所围成的围成的闭区域闭区域.故故