现代控制理论习题解答(第二章).doc

第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
第二章 状态空间表达式的解

3-2-1 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。
（1） （2）
（3） （4）
（5）（6）
【解】：
（1）

（2）

（3）

（4）
特征值为：。
由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为
，
线性变换后的系统矩阵为：

（5）
为结构四重根的约旦标准型。

（6）

虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

或

3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件

（1）用laplace法求状态转移矩阵；
（2）用化标准型法求状态转移矩阵；
（3）用化有限项法求状态转移矩阵；
（4）求齐次状态方程的解。
【解】：
（1）

（2）
特征方程为：

特征值为：
。

由于，所以对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足的解，得：
，
再根据，且保证、线性无关，解得：

对于当的特征向量，由容易求得：

所以变换阵为：
，
线性变换后的系统矩阵为：

（3）
特征值为：
。

即

(4)

3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。
（1）（2）
（3）（4）
【解】：
（1）

∴不满足状态转移矩阵的条件。
（2）

∴满足状态转移矩阵的条件。
由，得。
∴
（3）

∴满足状态转移矩阵的条件。

（4）

∴满足状态转移矩阵的条件。

3-2-4 已知线性时变系统为，试求系统的状态转移矩阵。
【解】：
取

3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为，初始条件为试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。
【解】：

3-2-6 已知线性定常系统的状态空间表达式为，已知状态的初始条件为，输入量为，试求系统的输出响应。
【解】：

3-2-7线性定常系统的齐次方程为，已知当时，状态方程的解为
；而当时，状态方程的解为，试求：
(1)系统的状态转移矩阵；
(2)系统的系数矩阵A。
【解】：

，
，

3-2-8 已知线性时变系统为，试求系统状态方程的解。
【解】：
对任意时间t1和t2有
得：
所以有

3-2-9 已知线性定常离散系统的状态空间表达式为

若与为同步采样时，且是来自斜坡函数的采样，即，是来自指数函数的采样。试求系统的输出响应y（KT）。
【解】：
方法一：
利用Z变换的方法求解：

=第一部分+第二部分
第二部分为：

所以第一部分的Z反变换为：

所以第二部分的Z反变换为：

方法二：
利用递推算法求解差分方程组：

特征方程为:

特征值为:
。
，

利用
得：

3-2-10 已知连续系统的状态方程为：

系统的初始状态为
试求当控制序列为时离散系统的状态。
【解】：
利用递推算法求解差分方程组：

，
，

3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示，

题3-2-11图
(1)求系统离散化的状态空间表达式；
(2)当采样周期秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出。
【解】：
方法一：
①依据方框图求闭环脉冲传递函数：

当采样周期秒时

②依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式：

③求零初始条件下单位阶跃输入的输出。

又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以

方法二：
系统中连续时间被控对象的传递函数为：

系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为：

状态转移矩阵为：

(对角标准型也可直接写)

故被控对象的离散化状态方程为：

根据系统结构图，系统输入量为，输出为，而被控对象的输入，所以系统的离散化方程为：

系统输出方程为：

令秒，离散化状态方程为：

当输入为单位阶跃函数，初始条件为零时离散系统的输出为：

可得。
或与方法一一样，利用
一步一步地求。

3-2-12 线性时变系统的状态方程为，求采样周期T=0.2秒时，系统的离散化方程。
【解】：
由于采样周期较小，可以采用近似离散化的方法。

37