二次函数及根的分布-.doc

二次函数
教学目标：
1．掌握二次函数的图像及性质
2．能够求出二次函数在某个区间上的最值
3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布
教学重难点：
重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化
难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用
知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程,
当时，抛物线开口向上
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若
当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时

当时

典型例题
一、求二次函数在闭区间上的值域
（一）正向型
已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动．
1．轴定区间定
例1．已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值．
解析：时，
所以时，时，．
2．轴定区间动
例2．求函数在区间上的最小值．
解析：对称轴
（1）当即时，；
（2）当即时，；
（3）当即时，
3．轴动区间定
例3．求函数在上的最大值．
解析：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3）时；由图可知

；即
4．轴动区间动
例4．已知，求的最小值．
解析：将代入u中，得

①，即时，
②，即时，
所以

（二）逆向型
已知二次函数在某区间上的最值，求函数在区间中的参数值．
例5．已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值．
解析：
（1）若，不合题意．
（2）若则
由，得；
（3）若时，则
由，得．
综上知或．

例6．已知函数在区间上的值域是，求m，n的值．
解析：方法一：讨论对称轴中1与的位置关系．
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
方法二：由，知，则，f(x)在上递增．
所以
解得
评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了．

例7．已知函数的最大值为，求的值 ．
解析：令，问题就转二次函数的区间最值问题．
令，，∴，对称轴为，
①当，即时，，得或（舍去）．
②当，即时，函数在单调递增，
由，得．
③当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）．
综上可得：的值为或．
二、恒成立问题
此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法．
例14．已知函数，
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
解析：（1）当时，恒成立，即在R上恒成立，
因此得：．
（2），恒成立，即，．
函数的对称轴为：，
①即时，得：故此时无解；
②即时，得：故；
③即时，得：故；
综上可知：．
例15．不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
解析：①a=2时，，恒成立；
②时，满足得：；
综上可知：．
例16．当，不等式，求实数m的范围．
解析：方法一：令
开口向上故f（x）在上的最大值为或，故得：．

方法二：参数分离法
时，等价于（），
，（）,
故．
例16．对满足的所有实数p，求使不等式恒成立的x取值范围．
解析：由题意知，不等对恒成立，
令，（看作是p的函数）
由得：或．
三、根的分布
例8．(1)方程的两根均大于，求实数的范围．
(2)方程的两根一者大于，一者小于求实数的范围．
(3)方程的两根一者在内，一者在（6，8）内，求实数的范围．
解析：令
（1）由或 得：；
（2）由或得：；
（3）由得：．
例9．关于的方程有实根，求实数的取值范围．
解析：令（），
原方程有实根等价于方程有正根．
令，则恒过点．
方法一：得：
方法二：要使方程有正根，则方程的较大根大于即可；
故由得：
例10．关于的方程至少有一个负根，求实数的取值范围．
解析：令，恒过点
方法一：
①时， 成立．
②时，得：；
③时，恒成立；
综上可知：．
方法二：
①时， 成立．
②时，要使方程至少有一个负根等价于方程的较小根小于即可．故或得；
综上可知：．
例11．已知函数与非负轴至少有一个交点，求实数的取值范围．
解析：方法一：
①方程有一个实根是，则得：；
②方程有两个正根，则得：；
③方程有一个正根一个负根，则得：；
综上可知：．
方法二：
考虑命题的对立面：方程没有实根或两个负根；
①方程没有实根，则得：；
②方程有两个负根，则得；故或．
因此函数与非负轴至少有一个交点实数的取值范围是：．
例12．关于的方程只有较小的根在内，求实数的取值范围．
解析：①时，，此时方程为，两根，不成立；
②由得；
综上可知：．
例13． 关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围．
解析：令，
①端点：；得：；
②在开区间上
（i）在上仅有一个实根，则得： ；
（ii）在上有两个相等的实根，则得：；
（iii）在上有两个不等的实根，则得：；
综上可知：．

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