数值分析复习题.pdf
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1、数值分析复习第一拿错卷1结论:数值分析的研究内容 2谈姜的宋源和介类 3度差的需帚 4度差的传播 5算法设计的若干原阳一、误差的分类(绝对误差,相对误差)例1-1设x*=2.18是由精确值”经过四舍五入得到的 近似值。问、的绝对误差限和相对误差限各是 多少?解:因为门*0.005,所以绝对误差限为=0.005相对误差限为=8*X0.0052.18 0.23%二、有效数字定义设数X的近似值可以表示为X*=0.。2%x 10m其中m是整数四,n)是0到9中的一个数字,而为#0.如果其绝对误差限为*1x-x-xlOwn2则称近似数*具有n位有效数字。结论:通过四舍五入原则求得的近似数,其有效数 字就
2、是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。例1-2下列近似数是通过U!舍五人的方法得到的,试判定它们各有几位有效数字:对*=87540,x2*=8754X 10,x3*=0.00345,x4*=0.345 0 XW2解:我们可以直接根据近似数来到断若效数字的色数,也可以通过绝对误差限来判断。|x-x*|lxio-已 而;=0.8 7 5 40 x105 所以x;xi()5.5知有5位有效数字。同理可以写出1 1-xio1 X;=0.875 4xio5 x2-x;-xl05 4x.-x;1x10-5 E=0.345 x10-2|x3-x;|xio-2-33 3 2 2x4-x*|-xlO-6 x*
3、=0.345 0 x10 2|x4-x*|-xlO-2-42 2可以得出修,匕,匕 各具有4、3、4位有效数字。例 13 已知 6=2.718281828 数各有几位有效数字?试判断下面两个近似=2.718282,e2=2.718281解:由于勺=0.0000001 0.0000005=-x 1062而”2.718282=0.2718282x 101所以,7=0.0000001 0.0000005=;X10-6=;X101-76有7位有效数字。同理:e-3=0.000000 0.000005=ixl05=-x 101-62 2e2只有6位有效数字。三、算法设计的若干原则1:两个很接近的数字不做
4、减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习;类方程/-56%+1=0的两个根,使它们至少具有 位有效数字(V3132 55.96 4)第二章插值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插 值余项估计,及证明过程。2、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计,带导数条件的插值多项式的构造方法,基于承袭性的 算法,基函数法,重节点差商表的构造;3、分段插值及三次样条插值的构造 4、最小二乘拟合掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 掌握Newton插值多项式的形式及误差 掌握差商表的构造过
5、程关于离散数据:|/”匕丹yn构造了 lagrange插值多项式:r n v-v4(x)=z nfz!y=o z=o xj k详j-yj)w+1)RQ)=C)5+1)!(x),得酮蟒n插偏多项式1:)+4(X-l)(x-2)Nn田。丑吟亦谭二/加系六君产-2)(*-3)(*-4)/(L5卜物嫣属鼠小相舟。+(X-XO)(x _ 占)(X _ xn_t)/*09七例1-3 已知/)的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5 J16),求NM。如果再增加一个节点(6,282),求出怎住),并计算 7V4(L5).7V5(L5).解:先由前五组数据列差商表1234560212
6、42116282210307416641022460.51如果,再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商248由Newton公式的递推式得到:7V5(x)=7V4(x)+0.1(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)得到:/(1.5)2V5(1.5)=7V4(1.5)+0.1(1.5-1)(1.5 一 2)(1.5 一 3)(1.5-4)(1.5-5)=0.28125+0.328125=0.6 093751.高次插值的Runge现象,应如何避免?2.分段性插值有何优缺点?误差估计?(插值节点的选择)3.Hermite插值的构造,误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.
7、数据拟合的最小二乘法(可化为直线拟合的非线性 拟合的处理方法)二、典型例题分析例1.令项)=0,x1=l,写出武)=*的一次插值多项式 Zi(x),并估计插值误差.(P55J14题)解:记*0=0,x1=l5j0=e-=l,yr=e-1;则函数了=八以项)、X为节点的一次插值多项式为T/Z 一 .7 N。_ 1 X-1+e-1 X 工 _ Q1X 0-1 e 1-0=1+(e-1 l)x因为 y(x)=-e x9 yn(x)=e x?所以 y(x)-L(z)=;)()(x-io)(z-q)=*心-*(0)(z 1),S G(0,1)max|y(N)-Li(%)|Ww max I e*x|max
8、 I(x-0)(j?-1)I OxCl Z(XjCI1 1 1(7x1x4=-g例2(,15)证明:对于/*(*)以/,项为节点的一次插值多项式p(x),插值误差为|/(*)p(*)归但 J)max(刈证明:根据插值余项定理,对于一次插值多项式误差余项为R(x)=f(x)-p(x)=/乎)(x-x0)(x 毛)看 k 可 乙A(x)l=(*-)(*-步)W;|/C)|(xro)(xf)|-max fx i max|(x-x0)(x-x1)|g(x)=(x-x0)(x-x1)2 X0XX!X0XX1-,/gx)=2x-(x0+x1)=0.时,g(*)取极小值,。刈取得极大值max|g(x)|=(
9、*;。)|/(x)-p(x)|max|/(x)|推广:等距节点的,二次插值的误差界是|/(x)-p2(x)|/*0-1证明:根据插值余项定理,对于二次插值多项式误差余项为f 册(A)R(x)(x)-P2(x)=-(x-x0)(x-X1)(x-x2),g e a,b|A(x)|=/)3!(x-x0)(x-x)(x-x2)一 6/C)|(x%)(*_*1)(*-2 max max|(x-x0)(x-xx)(x-x2)|6 X0-X-X2 XqXX2令#()=(e-Xo)(X-X1)(X-X2)令XK+th,贝k-xQ=(/-x-x2=(t+1)尸g(t)=t(7)(t+l)h3 e-1,1,/g(
10、t)=3Z2-1=0,驻点为4=土极大值为g(。=拽,极小值为g(,)=-9 9:.f(x)-p2(x)-h3 max fx)27 X0X()=0一 72)(70 74(Z-0)(辽 一 4)(22-A。)(2 二%4)+(1-10)(一22)(乙 一 Xo)(14 一 72)(z 1)(产-2)n(z-0)(z-2)-(一 0)(-1)(0-1)(0-2)(1-0)(1-2)3 T2-0)(2-1)容易验证力(尤1)=V,力(久3)=3,。(支5)=5因而6个点z=0 1,5均在二次曲线p(x)=NT上.换句话说,满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式 为 p(x)=X2-1.例5(6)f(x
11、)=2x3+5,求差商/(1,2,3,4),/(1,2,3,4,5)解:利用差商与导数的关系/(1,2,3,4)二/(1,2,3,4,5)二/C);-=23:n-=U4!例6 求一个次数不高于4的多项式P.x),使它满足P4(0)=P4*(0)=0,P4(1)=P4*(1)=1,P4(2)=l.分析:这是一个非标准插值问题,我们可以按各种思路 去做.可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插 值,再通过待定系数法求Pn(X);另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定Pn(X).下面给出三种做法.解法一 先求满足PKO尸0,P4(l)=l,P0尸1的插值多项式P2(X),易得_ 1 2
12、,32 2尸2(了)设()=(久)+(Az+B)(jr 0)(J7 1)(1 一 2)显然P.x)满足P2(X)的插植条件,利用两个导数条件确定系数A,B.由P4(0)=0,P4(D=l解得A=l/4,B=3/4.故1 q 1P4(z)=-二.+学-2,+丁-3)1 X(一)(一)=:产解法二 先作满足埃尔米特插值多项式H3(X).H3(x)=(p0(x)y()+(p1(x)y1+%(x)加+%(x)RH3(jc)=(3 2、C+1?(I _ i)=V(2 7).Pj(、T=H3 Q、)+A(M 1)2/,P,(/)=./(2 I)+(才一1)2/=T2(7 3)2 4 4解法三 构造插值基函
13、数求.记Xo=O,X=l,x2=25并设所 求多项式为P(X)=I。(x)Jo+11 Cr)y+12(彳)2+仪)(i)y()+自(才)/其中L(x)均为次数不超过4的多项式且满足如下条件:/o(?)=1,/(、和)=0,l2)=0,=。,自(,,)=0z0(二小)=o,A(彳)=1 a(a)=,%(、c)=。,(攵i)=o/()=0,(72)=。*A(二n)=A()=。,自(12)=0/;()=o./:(.)(),(70)=o,(/()=|尸;(孔)二o 1式工)=()/;()=o,(、c)=0.8;(,门)=0.8;5)=1易知/(才)=(ar+力)(彳一1尸(才一2)枚)(7)A r(x
14、-1)2(r 2)/1(丁)=(cr+d)、/(、T 2)131m=B a 2(x-1)(x 2)心(M)二G/(一/例7.采用下列方法构造满足条件p(0)=(0)=0,p(l)=p(l)=1 的插值多项式(x):(1)用待定系数法(2)利用承袭性(t22)解:(2)基于承袭性由条件夕(0)=p(o)=o,知*=o为M、)的二重零点,又满足条件P(1)=1;设H(x)=cx2,则c=1;即满足前三个边界条件的多项式为H(x)=*2,设三次多项式为(X)=x2+c x2(x-l)满足前3个边界条件由条件p(l)=L确定c=-1因此:p(x)=-x3+2x2例8.求做满足条件p(0)=0,p=1,
15、p(2)=2,p(3)=3,p。)=0 的插值多项式P(x).24)解:前四个边界条件确定3次多项式电(制N3(x)=/0+f0,ix+/0,1,2x(x-1)+/0,1,2,3x(x-l)(x-2)/(0)=以0)=0;/0川=梏=1;1 0i 91/1,2 n 1?71 n710,1,2=-=0;/0,L 2,3=。2-U/.N3(x)=x根据已知插值条件,P(x)=7V3(x)+R(x)R(x)=p(x)-N3(x),x=0 J 2,3均为 A(x)的零点 设 A(x)=c x(x-l)(x-2)(x-3)由条件p(2)=0;得c2例9.求做满足条件p(xj=f(xz.)(/=0,1),
16、pr(x0)=/(%),pff(x0)=/(Xo)的插值多项式p(x).(,26)解:由边界条件Po)=/任。)#=0,1,2得到满足此边界条件的2次泰勒插值m(X)=/(/)+/(%)(-项)+f(x0)(x-x0)2由剩余的边界条件知待构造插值多项p(x)=T2(x)+c(x-x0)3/(项)-4(项).c-(x x0)例10设分段多项式S(x)=+/,L2x3+bx2+cx-l,1 x +c(2)联立求解式,得b=-2,c=3.例11已知函数产加)的如下数据,试求其在区间0,3上的三次样条插值函数S(x)。/(0)=o,/(l)=l,/(2)=0,/(3)=l,/(0)=1,八 3)=0
17、解 这里边界条件是S(0)=L S(3)=o设 x0=0,x1=1,x2=2,x3=3%=&乂=1%=&%=1求得 h.=h2=h-.=1 1/J2 _ 2 _ 1/bi hx+h2 2,o 1=1.4=不2-3 _ 1 h2+h3 2,o 12=1-4=j=3(Ai/x1,x24-21/xo,x1)=O 4=332ylx2,*31+4/1 芭,电)二。已知加0=1,加3=0由方程组2%+从”=&-4M22 Ml+2”+42 吗=S1、加”2+2a-1=5-1-1 立及 乂=恤=1 乂=砥=0得到方程组解得 人.1 12m1+mi=2,1.nm1+2m2=04 1,m2=15 2 15这样便求
18、得zw0=1,m1 代入表达式4115 2 15m3=0SG)=ht+2(x-x/1)(-x/)24-2(x-xJ(x-x,t)2(x-X/_1)(X-Xf)(x_Xj_)(x-X-)I 1 I/I;便得到所求的三次样条函数S(无)=1-2(尤-l)x2+x(x-I)2-x2(x-1),XG0,14 15$2(合口+2(一)(2-/-1)(一)2+如毋253(x)=1-2(x-3)(x-2)2+(x-2)(x-3)2 xe 2,31 5例12对如下数据作形如y=於”的拟合曲线Xii2345678yi15.320.527.436.649.16 5.687.8117.6解:由于函数集合=e|不成为
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