F-平面向量(理科).doc

F　平面向量
F1　平面向量的概念及其线性运算
5．F1、F3[2012·浙江卷] 设a，b是两个非零向量(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
5．C　[解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．
法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的向量，A不正确；对于选项B，由a⊥b，得a·b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|，得a·b＝－|a||b|，B不正确；对于选项C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项D，若b＝λa，当λ>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故不正确．
法二：特值验证排除．先取a＝(2,0)，b＝，满足＝－，但两向量不垂直，故A错；再取a＝，b＝，满足a＝λb，但不满足＝－，故D错；取a＝，b＝，满足a⊥b，但不满足＝－，故B错，所以答案为C.
19．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
19．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
由＝2，得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
F2　平面向量基本定理及向量坐标运算
3．F2[2012·广东卷] 若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
3．A　[解析] ∵＝－，∴＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.
6．F2[2012·全国卷] △ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
6．D　[解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.
易知a⊥b，|AB|＝，用等面积法求得|CD|＝，
∵AD＝＝，AB＝，∴＝＝(a－b)，故选D.
8．F2、C5[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
8．A　[解析]设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，
则＝＝(－7，－)．故答案为A.
7．F2[2012·江西卷] 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
7．D　[解析] 考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解．
方法一：∵D是AB中点，∴＝(＋)．∵P是CD中点，∴＝(＋)，∴＝－＝－＋，＝－＝－.
∵·＝0，∴2＝2＋2，2＝2＋2，2＝2＋2，
∴＝10.
方法二：∵D是AB中点，∴＋＝2，－＝，∴2＋2·＋2＝42，2－2·＋2＝2，∴2(|PA|2＋|PB|2)＝4|PD|2＋|AB|2.∵D是AB的中点，∴2|CD|＝|AB|.∵P是CD中点，∴|CD|＝2|PC|，∴|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故＝10.
方法三：以C为坐标原点，AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，则D，P，|PA|2＋|PB|2＝＋＋＋＝，而|PC|2＝，故＝10.
6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
6．B　[解析] 因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.
F3　平面向量的数量积及应用
12．F3[2012·上海卷] 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
12．[2,5]　[解析] 令＝n(0≤n≤1)，则＝(1－n)，在平行四边形ABCD中，＝＋n，
＝＋(1－n)，所以·＝(＋n)·[＋(1－n)]
＝－n2－2n＋5，而函数f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，
所以·的取值范围是[2,5]．
3．F3[2012·辽宁卷] 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
3．B　[解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．
因为＝⇔2＝2⇔a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.
13．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
13．[答案] 3
[解析] 由|2a－b|＝，得4a2－4a·b＋b2＝10，得4－4×|b|×cos45°＋|b|2＝10，即－6－2|b|＋|b|2＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍去)．
9．F3[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
9.　[解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则＝(，0)．
设＝(x,2)，则由条件得x＝，得x＝1，
从而F(1,2)，＝(，1)，＝(1－，2)，
于是·＝.
14．F3[2012·安徽卷] 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
14．－　[解析] 本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．
因为|2a－b|≤3，所以|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2≤9.所以9＋4a·b≥4|a|2＋ |b|2.又由均值不等式得4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b，所以9＋4a·b≥－4a·b，解得a·b≥－，当且仅当2|a|＝|b|且a，b方向相反，即b＝－2a时取等号，故a·b的最小值为－.
8．F3[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)
A. B．1
C. D.
8．C　[解析] 本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决．根据新定义得：
a∘b＝＝＝≥cosθ>，
b∘a＝＝＝≤cosθ<1，
且a∘b和b∘a都在集合中，所以b∘a＝＝，＝，所以a∘b＝＝2cos2θ<2，所以1<a∘b<2，所以a∘b＝.所以选择C.
13．F3[2012·北京卷] 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.·的最大值为________．
13．1　1　[解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．

法一：投影法：设向量，的夹角为θ，则·＝·＝||·||cosθ，由图可知，||cosθ＝||，所以原式等于||2＝1，要使·最大只要使向量在向量上的投影达到最大即可，因为在向量上的投影达到最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1；
法二：因为＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，明显随着E点在AB边上移动||max＝1，故(·)max＝1.
法三：以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴
建立平面直角坐标系，
如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，
所以＝(x,1)，＝(0,1)，可得·＝x×0＋1×1＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝x，因为1≥x≥0，所以(·)max＝1.

6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
6．B　[解析] 因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.
15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
15．－16　[解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．
法一：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝5×5×cos180°－5×3×cos∠BMA－3×5×cos∠AMC＋32＝－16，故应填－16.
法二：特例法：假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝，cos∠BAC＝＝－，·＝||·||·cos∠BAC＝－16.
[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关系与应用．
7．C8、F3[2012·湖南卷] 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)
A. B. C．2 D.
7．A　[解析] 考查向量的数量积运算和解三角形，主要是余弦定理的运用，是此题的关键．
由·＝1可得2cos(180°－B)＝1，即2|BC|cosB＝－1，又由三角形的余弦定理可得32＝2＋22－2×2cosB，把2cosB＝－1代入，解得9＝2＋4＋2，
即＝，故选A.
19．H5、H8、F3[2012·福建卷] 如图1－4，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

图1－4
19．解：解法一：
(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因为e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.
故椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．
因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
解法二：(1)同解法一．
(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，
从而·＝－－3＋＋3＝0，
故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
17．F3、C3[2012·山东卷] 已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
17．解：(1)f(x)＝m·n
＝Asinxcosx＋cos2x
＝A
＝Asin.
因为A>0，由题意知，A＝6.
(2)由(1)f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此，g(x)＝6sin.
因为x∈，
所以4x＋∈.
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
7．F3[2012·天津卷] 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
7．A　[解析] 本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题．
·＝(－)·(－)
＝[(1－λ)－]·(λ－)
＝－(1－λ)2－λ2＋·＝－2λ2＋2λ－2＝－，解之得λ＝.
5．F1、F3[2012·浙江卷] 设a，b是两个非零向量(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
5．C　[解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．
法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的向量，A不正确；对于选项B，由a⊥b，得a·b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|，得a·b＝－|a||b|，B不正确；对于选项C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项D，若b＝λa，当λ>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故不正确．
法二：特值验证排除．先取a＝(2,0)，b＝，满足＝－，但两向量不垂直，故A错；再取a＝，b＝，满足a＝λb，但不满足＝－，故D错；取a＝，b＝，满足a⊥b，但不满足＝－，故B错，所以答案为C.
F4 单元综合
7．F4[2012·四川卷] 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
7．C　[解析] 要使得＝，在a，b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，
对照四个选项，只有C满足这一条件．
16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

图1－4
16．(2－sin2,1－cos2)　[解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，偏难．
根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C2M⊥y轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.