安徽省安庆市桐城中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题含解析.doc

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）
一、单选题
1.设集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由补集的概念，得，故选C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
2.设集合，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

3.2019年10月1日上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日，同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）
A. 出租车车费与出租车行驶的里程
B. 商品房销售总价与商品房建筑面积
C. 铁块的体积与铁块的质量
D. 人的身高与体重
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的概念来进行判断即可.
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；
对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；
对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；
对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，
因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。

4.已知函数满足，且当时，，则＝(　　)
A. B.
C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，可以得到的表达式，根据当时，，求出的值.
【详解】∵，且当时，，∴.选C.
【点睛】本题考查了求函数值问题，根据所给式子进行合理的变形是解题的关键.

5.已知函数则＝(　　)
A. － B. 2
C. 4 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的值，然后求出的值.
【详解】因为，所以.故本题选C.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了数学运算能力.

6.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由偶函数的定义得出定义域关于原点对称，可得出，由偶函数的性质，将不等式化为，再利用函数在上的单调性列出不等式组可解出实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，
，得，所以，函数的定义域为，
由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，
由于函数为偶函数，则，
由，可得，则，解得.
因此，不等式的解集为，故选：B.
【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题时要充分利用函数的奇偶性与单调性求解，同时要将自变量置于定义域内，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.

7.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得函数是以4为周期的周期函数，进而利用时，函数 的解析式和函数的奇偶性，即可求解上的最小值，得到答案．
【详解】由题意知，即，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
∴时，，
∴当时，，
所以当时，函数的最小值为.
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8.已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由于是向左平移个单位得到,结合函数的图象可知当或，纵横坐标的积不大于, 即应选C.
考点：函数的图象与单调性、奇偶性的运用．
【易错点晴】本题考查的是抽象函数的图象、单调性、奇偶性等性质的问题,解答时充分借助题设中提供的条件信息,进行合理的推理和运算,找出符合题设条件的函数的零点,从而依据不等式所反映的问题的特征,数形结合、合情推证,最后写出所给不等式的解集.解答本题的关键是借助图形中所提供的信息确定函数的零点,再将不等式进行分类与合理转化,最后写出其解集使其获解.

9.设函数，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】当,即,时,或,
  ,
其最小值为
 无最大值为,
因此这个区间的值域为:.
当时,,

   其最小值为
   其最大值为
   因此这区间的值域为:.
综合得:函数值域为: ，故选D.

10.已知定义在上的函数 和的图象如图

给出下列四个命题：
①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；
③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根；
其中正确命题的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】D
【解析】
根据图象可得 ，
①由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值，
故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故①正确．
②由于满足方程的有2个不同的值，从图中可知，
一个的值在上，令一个的值在上．
当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解．故满足方程的值有4个，故②不正确．
③由于满足方程 的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0，
一个，一个．
而当 时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值；
当时，也只对应一个值．
故满足方程的值共有5个，故③正确．
④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值，
故满足方程 的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④正确．
故选 D．

11.已知函数的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵ 函数
∴函数是开口向上，对称轴为的抛物线
∵函数的定义域为
∴当时，，当时，
∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5
∴当时，或
∴
故选B

12.已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设f（1）=t，由题意知t≠0，令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（t+1）=，令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（+）=t=f（1），由在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，得t2﹣t﹣1=0，由此能求出f（1）．
【详解】设f（1）=t，由题意知t≠0，
令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（1）f[f（1）+1]=1，
即f（t+1）=，
令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1得，f（t+1）f[f（t+1）+]=1，
∴f（+）=t=f（1），
∵在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，
∴+=1，化简得t2﹣t﹣1=0，
解得，t=或t=．
∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）为增函数，且f（x）•f（f（x）+）=1，
∴f（1）=．
故选：A．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的单调性、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

二、填空题
13.已知函数，则的解析式为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法求解析式即可
【详解】令，则
故
故答案为
【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点

14.若函数在上为增函数，则取值范围为_____.
【答案】
【解析】
函数在上为增函数，则需，
解得，故填.

15.已知函数的定义域为，则可求的函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.
【答案】
【解析】
函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数
的图象，

如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.

16.给出下列说法：
①集合与集合是相等集合；
②不存在实数,使奇函数；
③若，且f(1)=2,则；
④对于函数 在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称；
⑤对于函数 在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是____________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
利用集合与集合都是奇数集判断①；由的图象是轴对称图形判断②；推导出，求出可判断③；令，有,则可判断④；根据函数与的图象可以由与的图象向右移了一个单位而得到判断⑤.
【详解】在①中，集合与集合 都是奇数集，是相等集合，故①正确.
在②中，由二次函数的图象与性质可知的图象是轴对称图形，所以不存在实数,使为奇函数，故②正确.
在③中，若，且，令可得，，故③正确.
在④中，对于函数 在同一直角坐标系中，若，令，有,则函数的图象关于直线对称，故④错误.
在⑤中，对于函数 ，在同一直角坐标系中，与的图象关于直线对称，函数与的图象可以由与的图象分别向右移了一个单位而得到，从而可得函数与的图象关于直线对称，故⑤错误，故答案为①②③.
【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合相等、函数的奇偶性、函数图象的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

三、解答题
17. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)
【解析】
解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．
(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254

(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得，
或，解得m>4.
综上可得，实数m取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．

18.已知函数.
（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数的单调增区间；
（2）当a≥时，是否存在实数x，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），单调增区间为，；（2）2个.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题中所给的函数解析式，利用，得到所满足的等量关系式，求得的值，从而得到函数的解析式，进而求得函数的单调增区间；
（2）根据条件，结合函数解析式，分类讨论，分析性质，
【详解】（1）由，得，解得．
此时，函数
所以函数的单调增区间为，．
（2）显然，不满足；
若，则，由，得，
化简，得，无解：
若，则，由，得，
化简，得．
令，．
当时，；
下面证明函数在上是单调增函数．
任取，且，
则

由于

，
所以，即，故在上是单调增函数。
因为，，
所以，又函数的图象不间断，所以函数在上有且只有一个零点．
即当时，有且只有一个实数x满足．
因为当满足时，实数也一定满足，即满足的根成对出现（互为相反数）；
所以，所有满足的实数x的个数为2．
【点睛】该题考查的是有关函数解析式中参数的确定，分段函数的单调区间的求解，是否存在类问题的求解思路，分类讨论思想的应用，属于较难题目.

19.定义在上的函数满足：对任意的，都有．
（）求的值；
（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；
（）在（）的条件下解不等式：．
【答案】（）；（）证明见解析；（）．
【解析】
分析】
（1）令，根据函数的性质可得．（2）先证明函数是奇函数，然后再根据函数单调性的定义证明在上是单调递减函数．（3）将原不等式化为化为，根据函数的单调性和定义域得到关于的不等式组，解不等式组即可．
【详解】（）令，
则，
∴．
（）令，则，
∴，
∴是奇函数．
设，且，
则．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴ ，
∴ ．
∴ 在上是单调递减函数．
（）不等式可化为．
∵ 在上是减函数，
∴，
解得，
∴原不等式的解集为．
【点睛】（1）解答抽象函数问题时，一是要注意赋值法的运用，二是要灵活运用所给的函数的性质求解．
（2）在根据函数的单调性去掉不等式中的函数符号时，往往忽视定义域，解题时一定要注意这一点，避免出现错误．

20.已知函数．
（1）若在区间上的最小值为，求的值；
（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数单调性讨论即可解决。
（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决。
【详解】（1）若，即时，，
解得：，
若，即时，，
解得：（舍去）.
（2）（ⅰ）若在上单调递增，则，
则，
即是方程的两个不同解，所以，即，
且当时，要有，
即，可得，
所以；
（ⅱ）若在上单调递减，则，
则，
两式相减得：，
将代入（2）式，得，
即是方程的两个不同解，
所以，即，
且当时要有，
即，可得，
所以，
（iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃。
综上，.
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题。

21.设，其中．
1当时，分别求及的值域；
2记，，若，求实数t值．
【答案】（1）；（2）或或或
【解析】
【分析】
1当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可
2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可
【详解】1当时，由，
当且仅当时，取等号，即的值域为．
设，则，
则，
当且仅当，即时，取等号，
故的值域为．
2，，即此时函数的值域为，
，
，得或，
当时，即或，
，即，
即，则，得或成立．
当时，即时，
，
即，即，
即或或，
或满足条件，
综上或或或成立．
【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

22.已知实数，函数.
（1）当时，求的最小值;
（2）当时,判断的单调性,并说明理由；
（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.
【答案】（1）2；（2）递增；（3）．
【解析】
试题分析：(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．
试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.
（1）时,2分
时最小值为2. 4分
（2）时,
时，递增；时，递减； 6分
为偶函数.所以只对时，说明递增.
设，所以，得

所以时，递增； 10分
（3），，
从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，
恒有. 11分
①当时，在上单调递增，
由得，
从而； 12分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
由得，从而； 13分
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
由得，从而； 14分
④当时，在上单调递减，

由得，从而； 15分
综上，. 16分
考点：（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．
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