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(一)数学系一年级数学分析期末测验题

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（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题

学号 姓名

一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：
1、{}、{}和{}是三个数列，且存在N, n>N时有，则（ ）
A {}和{}都收敛时，{}收敛； B. {}和{}都发散时，{}发散；
C {}和{}都有界时，{}有界； D. {}有界时，{}和{}都有界；
2、
函数 在 点 必 （ ）
A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续
3、（）在点必 （ ）
A. ； B. ;
C. ; D. ；
4、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可微，但。则（ ）
A. （），使 ； B. （），使 ;
C. （），使 ；
D.当>时，对（），有>0 ；
5、设在区间Ⅰ上有， 。则在Ⅰ上有（ ）
A. ； B. ；
C. ；
D. ；
二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：
1 ＝ ；
2。在区间[]上的全部间断点为 ；
3 ＝, ；
4 函数在R内可导，且在（）内递增，在（）内递减,，的单调递减区间为 ；
5 ；
三、（满分36分，每小题6分）计算题：
1、 ;
2、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ;
3、 ；
4、,计算积分 ；
5、 ；
6、斜边为定长的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;
四、（满分7分）验证题：由有“”定义验证数列极限 ；
五、（满分32分，每小题8分）证明题：
1 设函数和都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数在区间Ⅰ上一致连续；
2 设函数在点可导且，试证明：～，其中 ；
3 设函数在点具有连续的二阶导数，试证明：
；
4 试证明：<<时，有不等式 > .

（二）一年级《数学分析》考试题

一、（满分10分，每小题2分）判断题：
1、无界数列必发散； （ ）
2、若对>0，函数在[]上连续，则在开区间（）内连续； （ ）
3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）
4、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点
必不可导 ； （ ）
5、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，但，则对，有 ； （ ）
二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：
1、＝ ；
2、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是 ；
3、 ， ；
4、函数二阶可导， ， 则 ；
5、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，
；
三、（满分30分，每小题6分）计算题:
1、 ；
2、 ；
3、， 求 ；
4、， 求 ；
5、 ；
四、（满分40分，每小题8分）证明题：
1、设函数在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：>0，Ⅰ，
有 ，证明在区间Ⅰ上一致连续；
2、证明函数在点不可导 ；
3、设函数在R内连续且，试证明在R有最小值；
4、设<<，在[]上可导，在（）内可导，证明，使得
；
5、设函数和可导且，又，证明，其中为常数.

（三）一年级《数学分析》考试题

一 对错判断题：
1、设为两个数列，若 （）则 ；（ ）
2、若函数以为极限，则可表为 ； （ ）
3、设定义于[]上，若取遍与之间的任意值，则比在[]上连续； （ ）
4、若在连续，且存在，则在有界;（ ）
5、若的导数在[]上连续，则必存在常数L,使
， ； （ ）
6、① 当时， ； （ ）
② ； （ ）
7、若和在点都不可导，则在点也不可导;
（ ）
8、为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点有：
（ ）
9、若在二阶可导，则（）为曲线的拐点的
充要条件为 ； （ ）
10、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列,使得
； （ ）
二 单项选择题：
1、设 在处连续， 则（ ）
A. 1 B. C. D. －1
2、设 当是不连续是因为 （ ）
A.在无定义 B.不存在
C. D.左，右极限不相等
3、设 ，其中在处连续但不可导，则 （ ）
A. 不存在 B. C. D. －
4、当很小时，下列近似公式正确的是 （ ）
A. B. C. D.
5、若和对于区间（）内每一点都有，在（）
内有 （ ）
A. B.
D.（c为任意常数） D. （c为任意常数）
三 证明题：
1 证明 ;
2 证明不等式： ；
3 对任意实数有 ；
4 证明：方程 （为常数）在内不可能有两个不同的实根；
5 设函数在点存在左，右导数，试证在连续；
6 证明：若极限存在，则它只有一个极限；
四 计算题：
1 写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；
2 求下列极限：
① ；
② ；
③ ；
3 求 的微分；
4 设函数的参量方程 （）所确定，求 .

（四）一年级《数学分析》考试题

一 叙述题：
1 用语言叙述 （为定数）
2 叙述Rolle中值定理，并举出下列例子：
1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；
2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；
3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；
二、计算题：
1 求极限 ；
2 求极限 ；
3 求的带Peano型余项的Maclaurin公式；
4 求；
三、研究函数
在处的左，右极限和极限；
四、研究函数
求数集的上、下确界，并依定义加以验证；
五、证明题：
1 用定义证明： ；
2 证明： ()
3 设定义在区间Ⅰ上，若存在常数L，,Ⅰ,有

证明：在Ⅰ上一致连续；
4 设函数在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明
.

（五）一年级《数学分析》考试题

一 判断题：（满分10分，每小题2分）
1、若，则 ； （ ）
2、有限开区间（）内一致连续的函数必在开区间内有界；
（ ）
3、设函数在点的某领域内有定义，若存在数，使，（），则在点可导且 ； （ ）
4、，若函数在点可导，则函数和都在点可导；
（ ）
5、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，若对， ，则必有； （ ）
二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）
1、函数在点连续的充要条件是
A. 和中至少有一个存在；
B. 和存在且相等；
C. ==; D. 在点可导
2、设函数定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz条件，，使对Ⅰ，有，则在区间Ⅰ上 （ ）
A. 连续但未必一致连续； B. 一致连续但未必连续；
C. 必一致连续； D. 必不一致连续；
3、定义为：
A. ； B. ；
C. ； D. ；
4、设函数和在区间Ⅰ内可导，则在该区间内有
（ ）
A. ，其中为常数； B. , 其中为常数;
C. ; D. ;
5、 为使在点可导，应取（ ）
A. ， ； B. ， ;
C. ， ; D. ， ;
三 计算题：（满分30分，每小题6分）
1、，求 ；
2、，求 ；
3、，求 ；
4、 ；
5、，其中且，写出的含项且具Peano型余项的Maclaurin公式；
四 验证题：（满分16分，每小题8分）
1、用定义验证函数在（）内一致连续；
2 证明函数在点不可导；
五 证明题：（满分24分，每小题8分）
1、设函数和在内连续，若对任何有理数，有，则在内；
2、设函数定义在（）内，且（）和，有，其中M为正实数，证明是（）内的常数函数；
3、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内二级可导，且，，试证明：（），使.