荆楚培优题第7讲轴对称.doc

轴对称
一. 知识要点
对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本.
本次课主要研究以下内容：
（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.
（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.
利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一.
二.基本知识点过关测试
1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 .
如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 .
2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数：
（1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形
3.平面直角坐标系中，点A（-2,3）关于y轴的对称点A1的坐标是 ，点B（-4,1）关于x轴的对称点B1的坐标是 ，点A1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .
知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，DE为AB的中垂线.
且△BEC的周长为14，BC=6，则AB的长为 .

知识要点3：等腰三角形的性质与判定
5.如图，在等腰△ABC中,AB=AC，若∠1=∠2，则BD CD，AD BC

6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 .
7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x的范围是 ；若底边长为10，则腰长y的范围是 .
（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm，则腰为 .
（3）等腰△ABC，AB=AC，BD为AC边的高，则∠DBC= ∠BAC；若∠DBA=45°，则
∠C= .
（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm，则最长边为 ；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm，，则此三角形面积为 .

知识要点4：等边三角形的性质与判定
8.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 .

知识要点5：含30°的特殊三角形
9.如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交于BC于点D，交AB于点E，BD=10，
则AC= .

知识要点6：尺规作图问题
10.如图，直线MN表示一条铁路，A、B两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN旁修建一个车站C，要使A、B两个村到车站的距离相等，请确定车站C的位置

11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M、N表示大学AO、BO表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

三. 综合、提高、创新
方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题
【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.

方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中
【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F, 求证：∠ABF=∠CGF.

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=AB. ①求证：∠ACE=45°

②若点E在AB的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是角平分线，过BC的中点M作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E，求证：BE=BD

【练】如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC上的高线，P是AD上一点，试比较PB—PC与AB—AC的大小.

方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用
【例4】（1）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠C=2∠B.求证：AC+CD=BD.

（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=（AB+AC）

【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH

方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用
【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH

（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD

本讲精题整理：

四. 反馈练习
1.如图，四边形EFGH是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A、B两点位置上，试问：怎样撞击
黑球A，使黑球先碰撞台边EF反弹后再击中白球B？

2.如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求一点M使△MEF的周长最短.

（3）如图，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），作∠BAO的平分线AC交y轴于C，过B作BD⊥AC于D,求AC：BD的值.

（4）如图，AB=AC，若∠A=20°，在AB上取点W，使AE=BC.求∠BWC的度数？

【例6】如图，△ABC为等边三角形，D为AC所在直线上一点，AE∥BC，且满足∠BDE=60°，当D点分别运动到如图所示情形时.
（1）求∠CBD和∠ADE的关系；（2）求证：DB=DE；（3）求AD、AE和BC之间的关系.

3.如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使C到A，B的距离只差最大.

4.如图4，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠ABC交CD于F，CG平分∠ACD.
求证：BE⊥CG

5.如图5，∠1=∠2，DA=DB，AC=AB，求证：DC⊥AC.

6.（1）如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B：∠C

（2）如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC

7.如图，AM为△ABC的角平分线，BD=CE，NE∥AM，求证：N为BC中点.

8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于O，交AB于E，OF∥BC，交AB于F，AE=6，AB=18，求EF.

9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=（AB+AD）.
求∠ABC+∠ADC的度数.

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都为等边三角形，F为BE中点，DF交于AC于M，连接DE.求证：（1）AM=MC；（2）AB平分DE.

11.如图，△ABC为等边三角形，CF为∠C的外角平分线，在BC上任取一点D，使∠ADE=60°，DE交CF于点E.求证：△ADE为等边三角形

12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O为三角形内一点，∠OBC=10°，∠OCB=30°，求∠BAO的度数.