极限的解法与技巧-汇总.doc

极限的求法与技巧
极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。
1.运用极限的定义
例：用极限定义证明:
证: 由

取 则当 时,就有

由函数极限定义有:

2.利用单调有界准则求极限
预备知识：若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数，有 .
此方法的解题程序为：
1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列单调有界；
2、设的极限存在，记为代入给定的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。
例：若序列的项满足且,试证有极限并求此极限。
解 由

用数学归纳法证明 需注意
.
又
为单调减函数且有下界。
令其极限为
由 有：

即

从而 .
3.利用等价无穷小替换
常用的等价无穷小关系：

等价无穷小代换法
设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
， 存在，
则 也存在，且有=
例:求极限
解:
=
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
4．利用极限的四则运算法则
极限的四则运算法则叙述如下：
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常数）
上述性质对于
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求
解: =
5、利用两个重要的极限。

但我们经常使用的是它们的变形：

例：求下列函数极限

6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限
此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。
例：求 .
解
=
=
=
=
=
例：求极限 .
解
=
=
=
=
=
7、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I）若： 则
(II) 若: 且 f(x)≠0 则
例: 求下列极限
① ②
解: 由 故
由 故 =
8. 变量替换
例 求极限 .
分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.
解 原式 =
= (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.)
= . ( 型,最高次幂在分母上)
9. 分段函数的极限
例 设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为

所以 不存在.
注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .
10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
例：求下列函数的极限
（2）

11、洛必达法则（适用于未定式极限）
定理：若

此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：
1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。
2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
① ②
解：①令f(x)= , g(x)= l
,

由于
但
从而运用洛必达法则两次后得到

② 由 故此例属于型，由洛必达法则有：

=
注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
=
注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
[解法三]:

注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则

[解法四]:

注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。
[解法五]:

注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
[解法六]：
令

注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。
[解法七]:

注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。
12、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

则极限 存在, 且有

例: 求 (a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:

及
又 当x时,k 有

及
=0
13、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：
==A
例：设= 求及

由

14、约去零因式（此法适用于）
例: 求
解:原式=
=
==
=
15、利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)
比如 求
此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式
解：=
通分法（适用于型）

16、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
上述展开式中的符号都有:

例:求
解:利用泰勒公式，当 有

于是
=
=
=
17、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f满足如下条件：
(I) f 在闭区间上连续
(II)f 在(a ,b)内可导
则在(a ,b)内至少存在一点,使得

此式变形可为:

例: 求
解:令 对它应用中值定理得
即:
连续

从而有:
18.利用定积分和积分中值定理求极限
比如设=，，求
解因为
所以=
19、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:

(I)当时，有

(II)当 时有:
①若 则
②若 而 则
③若,,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即:
可得结论如下：

例：求下列函数的极限
① ②
解: ①分子，分母的最高次方相同，故
=
②

必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:

(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：求
解:

20. 利用拆项法技巧
例6：
分析：由于=
原式=
21.分段函数的极限
例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为

所以 不存在.
注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .
22.利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限
此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。
举例说明：
例：若 ,求.
解 先考虑：

而
=
=
=
=

=
=
=
=
=

在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限

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