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13-1 3-1 刚体运动的基刚体运动的基本形式本形式1.平平动动 刚刚体体在在运运动动过过程程中中，其其上上任任意意两两点点的的连线始终保持平行。连线始终保持平行。一、平动和转动一、平动和转动刚体运动学的主要任务：研究物体的转刚体运动学的主要任务：研究物体的转动及转动状态变化的规律。动及转动状态变化的规律。刚体可视为无数个连续分布的质点组刚体可视为无数个连续分布的质点组成的质点系，组成刚体的每个质点称为刚成的质点系，组成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元。每个质量元都服从质点体的一个质量元。每个质量元都服从质点力学规律。力学规律。刚体刚体 在外力作用下不产生形变的物体。在外力作用下不产生形变的物体。特点：任意两点间的距离始终保持不变特点：任意两点间的距离始终保持不变2一、平动和转动一、平动和转动2.转转动动 刚刚体体上上所所有有质质点点都都绕绕同同一一直直线线作作圆圆周周运运动动。这这种种运运动动称称为刚体的转动。这条直线称为转轴为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动定轴转动整个转轴相对参考系静止。整个转轴相对参考系静止。33-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式一、平动和转动一、平动和转动AB刚体的复杂运动刚体的复杂运动平动和平动和转动的叠加。转动的叠加。是平动还是转动？是平动还是转动？4专题讲座专题讲座刚体定轴转动的刚体定轴转动的动力学描述动力学描述5一一、描描述述刚刚体体转转动动的的物理量物理量用角量描述定轴转动用角量描述定轴转动转动平面：定轴转动刚转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面体上各质点的运动面 刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：1.转动平面垂直于转轴。转动平面垂直于转轴。2.转动平面上各点均做圆周运动，角转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量不同。量相同，线量不同。3.定轴转动刚体上各点的角速度矢量定轴转动刚体上各点的角速度矢量的方向均沿轴线。的方向均沿轴线。角坐标角坐标:单位：弧度（单位：弧度（rad）角位移：角位移：，角速度的大小：角速度的大小：单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）角加速度的大小：角加速度的大小：单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）注意：注意：、是矢量，在定轴转动中是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。67定义力矩的大小定义力矩的大小:方向方向:与与 、成右手螺旋关系成右手螺旋关系力矩为矢量。用矢量表示为力矩为矢量。用矢量表示为二、二、对转轴的力矩对转轴的力矩单位：单位：Nm8二、二、对转轴的力矩对转轴的力矩单位：单位：Nm 在垂直于转轴的平面内，外力在垂直于转轴的平面内，外力 在该在该平面内的分量平面内的分量 与力线到转轴的距离与力线到转轴的距离d 的的乘积定义为对转轴的力矩。乘积定义为对转轴的力矩。大小大小:方向方向:与与 、成右手成右手螺旋关系螺旋关系910大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流二、二、刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律牛顿定律的应用牛顿定律的应用外力外力内力内力定轴转动中的基本关系式定轴转动中的基本关系式把刚体看作一个质点系，把刚体看作一个质点系，研究其中一个质研究其中一个质量元量元mi根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：用用 上式两边上式两边两边取两边取，得，得0合外力矩合外力矩合内力矩合内力矩11二、二、刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律牛顿定律的应用牛顿定律的应用则则因为因为所以所以故，故，令令转动惯量转动惯量从而得转动定律从而得转动定律:外力外力内力内力0合外力矩合外力矩合内力矩合内力矩12二、二、刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律 刚体定轴转动定律：刚体在作定轴转刚体定轴转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动定律和牛顿第二定律的比较转动定律和牛顿第二定律的比较m 是物体平动惯性的量度；是物体平动惯性的量度；J 是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。转动定律在刚体定轴转动中的地位与牛顿转动定律在刚体定轴转动中的地位与牛顿第二定律在刚体平动（或质点运动）中的第二定律在刚体平动（或质点运动）中的地位是相当的。地位是相当的。13三、转动惯量三、转动惯量1.定义定义单位单位:m s2 刚体对定轴的转动惯量等于其各质点刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。和。影响影响 J 的因素的因素刚体的总质量刚体的总质量(同分布同分布Mm,JMJm)刚体质量分布刚体质量分布(同同m,J中空中空J实实)转轴的位置转轴的位置 外力矩和力、角量和线量、转动惯量外力矩和力、角量和线量、转动惯量和质量这三对对应关系，贯穿了整个刚和质量这三对对应关系，贯穿了整个刚体定轴转动的讨论。体定轴转动的讨论。142.计算计算(1)分离质点系分离质点系例例3-1.由长由长l 的轻杆连接的质点如图所示，的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动垂直于该平面的轴的转动惯量。惯量。解：由定义式解：由定义式思考：思考：A点移至质量为点移至质量为2m的杆中心处的杆中心处 J=?转轴转轴15 例例3-2.一长为一长为L的细杆，质量的细杆，质量m均匀分布，均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。端点的轴的转动惯量。解解:(1)轴过中点轴过中点在杆上任取在杆上任取dm(2)轴过一端端点轴过一端端点在杆上任取在杆上任取dm2.计算计算(1)分离质点系分离质点系(2)若质量连续分布若质量连续分布16例例3-3.求质量为求质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量Rdl解解:(1)在细圆环上取一质量元在细圆环上取一质量元(2)在距在距O为为r处取一宽为处取一宽为dr的圆环，的圆环，Rrdr其质量为其质量为OO17 若刚体对过质心的若刚体对过质心的轴的转动惯量为轴的转动惯量为Jc，则，则刚体对与该轴相距为刚体对与该轴相距为d 的平行轴的平行轴z的转动惯量的转动惯量Jz是是mR RJzJc四、四、平行轴和正交轴平行轴和正交轴定律定律1、平行轴平行轴定律定律l 细棒转轴通过中细棒转轴通过中心与棒垂直心与棒垂直l 细棒转轴通过端细棒转轴通过端点与棒垂直点与棒垂直 薄圆盘转轴通薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直过中心与盘面垂直r18四、四、平行轴和正交轴平行轴和正交轴定律定律2、正交轴正交轴定律定律 几何形状不规则的几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实刚体的转动惯量，由实验测定。验测定。设一薄板如图所示，过其上一点设一薄板如图所示，过其上一点O作作z轴垂直于板面，轴垂直于板面，x、y轴在板面内。轴在板面内。Jx、Jy、Jz分别为绕分别为绕x、y、z轴的转动轴的转动惯量。惯量。19例例3-3.质质量量为为M=16kg的的实实心心滑滑轮轮，半半径径为为R=0.15m。一一根根细细绳绳绕绕在在滑滑轮轮上上，一一端端挂挂一一质质量量为为m=8kg的的物物体体。设设细细绳绳不不伸伸长长且且与与滑滑轮轮间间无无相相对对滑滑动动，求求：(1)由由静静止止开开始始1秒秒钟钟后后，物物体体下下降降的的距距离离。(2)绳子的张力。绳子的张力。解解：对滑轮、物体受力分析如图对滑轮、物体受力分析如图mMmmgTMgN由转动定律由转动定律由牛顿定律由牛顿定律(1)(2)20 例例3-4.如图所示，一质量为如图所示，一质量为M的滑轮挂有重物的滑轮挂有重物m1、m2，已知，已知m2 m1，求，求 T1、T2和和a 。解解：mMm1m2RT1T2m1gm2gMgN受力分析如图所示受力分析如图所示由转动定律和牛顿第二定律可得由转动定律和牛顿第二定律可得又有又有可解得可解得21例例3-5.一一质质量量为为m，长长为为l 的的均均质质细细杆杆，可可绕绕垂垂直直于于平平面面、穿穿过过O点点的的转转轴轴转转动动，转转轴轴距距A 端端l/3。今今使使棒棒从从静静止止开开始始由由水水平平位位置置绕绕 O点点转转动动，求求：(1)水水平平位位置置的的角角速速度度和和角角加加速速度度。(2)垂垂直直位置时的角速度和角加速度。位置时的角速度和角加速度。(1)OBA解：已知解：已知由平行轴定理由平行轴定理由转动定律可得由转动定律可得(2)垂直时，力矩为零。故垂直时，力矩为零。故设棒在任意时刻位置如图设棒在任意时刻位置如图由转动定律由转动定律 mgc22刚体定轴转动的机刚体定轴转动的机械能和力矩的功械能和力矩的功专题讲座专题讲座23一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能 miz质元动能质元动能：二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能 结论：刚体的重力势能应等于质量结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能集中于质心的重力势能2.刚体的机械能刚体的机械能24三、力矩的功和功率三、力矩的功和功率1.力矩的功：力矩的功：2.合力矩的功：合力矩的功：3.力矩功率：力矩功率：注：力矩求和只能对同一参考点注：力矩求和只能对同一参考点(或或轴轴)进行。进行。z d25四、刚体定轴转动的四、刚体定轴转动的动能定理动能定理 合外力矩对刚体所作的功等于刚体合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。五、刚体定轴转动的五、刚体定轴转动的功能原理功能原理由动能定理由动能定理 重力做功由势能计算，因此机械能为重力做功由势能计算，因此机械能为六、刚体定轴转动的六、刚体定轴转动的机械能守恒定律机械能守恒定律如果如果A外=0，则则26例例3-7、一质量为一质量为M、半径、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度止下落高度h时其速度为多大？时其速度为多大？mmMm解法解法1：受力分析如图所示：受力分析如图所示解得解得mgT对圆盘：由动能定理对圆盘：由动能定理对物体：由动能定理对物体：由动能定理27例例3-7、一质量为一质量为M、半径、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度止下落高度h时其速度为多大？时其速度为多大？mmMm解法解法2：受力分析如图所示：受力分析如图所示解得解得mgT假设初始的机械能为零，则假设初始的机械能为零，则28角动量定理及角动角动量定理及角动量守恒定律量守恒定律专题讲座专题讲座29引人与动量对应的角量引人与动量对应的角量 角动量角动量(又称又称:动量矩动量矩)1.质点相对某一固定点的质点相对某一固定点的角动量角动量定义定义xyzmO 问题：图示圆盘问题：图示圆盘视为一个质点系，视为一个质点系，vc=0miv=Mvc=0，如，如何量度转动物体的机何量度转动物体的机械运动量？械运动量？一、一、角动量角动量大小大小:方向方向:满足右手螺旋关系满足右手螺旋关系单位单位:kg m2 s-1注注意意:在在说说明明一一个个质质点点的的角角动动量量时时，必须指明是对哪一个固定点而言的。必须指明是对哪一个固定点而言的。302.质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量质点绕某一定轴作平面圆周运动，质点绕某一定轴作平面圆周运动，与与 相互垂直，则相互垂直，则xyzmO对照对照31转动转动平面平面 mi对对z轴的角动量：轴的角动量：大小：大小：刚体对刚体对z轴的总角动量为轴的总角动量为1.质点的角动量定理质点的角动量定理二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理质点的角动量：质点的角动量：对时间对时间t求导求导:0 质点角动量对时间的变化率等于质质点角动量对时间的变化率等于质点所受的合力矩。点所受的合力矩。质点角动量定理微分式：质点角动量定理微分式：3.刚体定轴转动的角动刚体定轴转动的角动量量32 称为质点所受合外称为质点所受合外力矩的冲量矩力矩的冲量矩（或称角冲量），单位：（或称角冲量），单位：m N s。质点角动量定理积分质点角动量定理积分式：式：质点的角动量定理：质点在质点的角动量定理：质点在t t1 1t t2 2时时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内质点角动量的增量。内质点角动量的增量。2.质点系的角动量定质点系的角动量定理理质点系的角动量：质点系的角动量：0 对于定轴转动的刚体来说，力矩和对于定轴转动的刚体来说，力矩和角速度只沿着角速度只沿着Z轴方向轴方向。33三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律当当角动量守恒定律角动量守恒定律:刚体所受合外力矩为零，刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变。则刚体的角动量保持不变。下面看几个角动量守恒实例下面看几个角动量守恒实例3.定轴刚体的角动量定定轴刚体的角动量定理理 刚体的角动量定理：刚体在刚体的角动量定理：刚体在t1t2时间时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量。内刚体角动量的增量。34中中国国跳跳水水运运动动员员郭郭晶晶晶晶35 例例3-9.质质量量为为M、长长为为2l的的均均质质细细棒棒，在在竖竖直直平平面面内内可可绕绕中中心心轴轴转转动动。开开始始棒棒处处于于水水平平位位置置，一一质质量量为为m的的小小球球以以速速度度u垂垂直直落落到到棒棒的的一一端端上上。设设碰碰撞撞为为弹弹性性碰碰撞撞，求求碰碰后后小小球球的的回回跳跳速速度度以以及及棒棒的的角角速度。速度。Ou由系统角动量守恒由系统角动量守恒由机械能守恒定律由机械能守恒定律解得解得y解解:取向上为取向上为y正方向正方向36解：角动量守恒解：角动量守恒机械能守恒机械能守恒 例例3-10.一一长长为为l、质质量量为为M的的杆杆可可绕绕支支点点O自自由由转转动动。一一质质量量为为m、速速度度为为v 的的子子弹弹射射入入距距支支点点为为a的的棒棒内内。若若棒棒最最大大偏偏转转角角为为 30o,问问子子弹的初速度是多少？弹的初速度是多少？Ovl l ao30解得解得37