平面(附答案).doc

(完整word)平面(附答案)
平　面
[学习目标]　1.了解平面的概念及表示方法。2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.

知识点一　平面的概念
1.几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来,如图②.

3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD。
思考　一个平面能把空间分成几部分?
答　因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分.
知识点二　点、线、面之间的关系
1.直线在平面内的概念：
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l。
2.一些文字语言与数学符号的对应关系:
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α、β相交于直线l
α∩β＝l

思考　若A∈a，a⊂α，是否可以推出A∈α?
答　根据直线在平面内定义可知，若A∈a,a⊂α，则A∈α.
知识点三　平面的基本性质及作用
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l,B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B,C三点不共线⇒存在惟一的平面α,使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
一是判断两个平面相交的依据;二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据

思考　（1)两个平面的交线可能是一条线段吗？
(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？
答　（1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线。(2）不一定。只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.

题型一　三种语言间的相互转化
例1　用符号语言表示下列语句，并画出图形.
（1）三个平面α,β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB,β∩γ＝PC,图形表示如图①.

(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.

跟踪训练1　根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）P∈l，P∉α,Q∈l，Q∈α。
解　（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①。
（2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上，如图②.
(3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.

题型二　共面问题
例2　证明:空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内。
证明　(1)如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b,c分别交于点M，N，P,直线d和点O确定平面α.

因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.
同理可证b⊂α，c⊂α。
（2）如图②,设直线a,b,c，d两两相交,且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q,R，G。
因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.
因为a∩c＝N,b∩c＝Q，所以点N,Q都在平面α内，
所以c⊂α。
同理可证d⊂α，所以直线a，b,c，d共面于α.
综合(1)(2）,知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

跟踪训练2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明　如图所示。由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α,B∈α，且A∈l,B∈l，∴l⊂α.即过a，b,l有且只有一个平面。

题型三　点共线与线共点问题
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.

证明　∵MN∩EF＝Q,
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD,N∈直线AB，
CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，
∴MN⊂平面ABCD。∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF⊂平面ADD1A1。
∴Q∈平面ADD1A1。
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线。

跟踪训练3　如图所示，在四面体A－BCD中,E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH,BD交于一点。
证明　∵E，G分别为BC,AB的中点，∴GE∥AC。
又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3,
∴FH∥AC，从而FH∥GE.
故E，F,H，G四点共面。
∵FH∥AC，DH∶DA＝2∶5,
∴FH∶AC＝2∶5，即FH＝AC.
又∵E,G分别为BC,AB的中点，
∴GE＝AC，∴FH≠GE，
∴四边形EFHG是一个梯形,
GH和EF交于一点,设为O.
∵O∈GH，GH⊂平面ABD,O∈EF，EF⊂平面BCD，
∴O在平面ABD内，又在平面BCD内，
∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条，
∴点O在直线BD上。
故EF，GH，BD交于一点.

分类讨论思想

例4　三个平面将空间分成几部分？请画出图形.
分析　平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.
解　(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行（即α∥β∥γ）时，将空间分成4部分，如图①所示.
（2）当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与其相交）时，将空间分成6部分，如图②所示.
(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示.
(4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示。
（5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.

1。在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（　　)
A。黑板面 B。乒乓球桌面
C。篮球的表面 D.平静的水面
2.点P在直线l上,而直线l在平面α内，用符号表示为(　　)
A。P⊂l⊂α B。P∈l∈α
C.P⊂l∈α D.P∈l⊂α

3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　）

4。下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是（　　）

5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.
（2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定_______个平面.

一、选择题
1。下列有关平面的说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B。任何一个平面图形都是一个平面
C。平静的太平洋面就是一个平面
D。圆和平行四边形都可以表示平面
2。如图，用符号语言可表示为（　　)
A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n
3.下列说法正确的是（　　）
A.经过三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C。四边形确定一个平面
D.不共面的四点可以确定4个平面
4。一条直线和直线外的三点所确定的平面有（　　）
A。1个或3个
B。1个或4个
C.1个，3个或4个
D.1个,2个或4个
5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线,下列推理错误的是(　　)
A。A∈a，A∈β，B∈a,B∈β⇒a⊂β
B。M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β＝A
D。A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
6。空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中（　　)
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线

7.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是(　　）

A.C1，M,O三点共线
B。C1，M，O，C四点共面
C.C1，O,A,M四点共面
D.D1,D，O,M四点共面

二、填空题
8.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.

9。平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l,又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______。

10。若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O,C,D三点的位置关系是________。

11.如果一条直线与一个平面垂直，那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对".在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________。

三、解答题
12。如图，直角梯形ABDC中,AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线。

13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线。

当堂检测答案
1.答案　C
解析　平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分,而篮球的表面是一个曲面,不能作为平面的一部分。
2。答案　D
解析　点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示。
3。答案　A
解析　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内;D中直线a与平面α相交.
4.答案　D
解析　A中没有画出平面α与平面β的交线,也没有完全按照实、虚线的画法法则作图,故A不正确；B,C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确。
5。答案　（1）4　（2）7
解析　(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.

课时精练答案
一、选择题
1。答案　D
解析　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的,故C项不正确；在需要时,除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面,故D项正确.
2。答案　A
解析　α与β交于m，n在α内，m与n交于A.
3.答案　D
解析　对于A,若三点共线,则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项,空间四边形就不止确定一个平面。

4.答案　C
解析　若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面。
5。答案　C
解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β。
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误。
6。答案　B
解析　如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确。

7.答案　D
解析　在题图中,连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线,
∴选项A,B，C均正确，D不正确.
二、填空题
8.答案　∈
解析　因为a∩b＝M，a⊂α,b⊂β，所以M∈α，M∈β。又因为α∩β＝l,所以M∈l。
9.答案　直线PR
解析　如图，MN⊂γ，R∈MN，
∴R∈γ.
又∵R∈l,∴R∈β。
又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR。

10.答案　共线
解析　∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝直线CD。
∵l∩α＝O,∴O∈α。
又∵O∈AB⊂β，
∴O∈直线CD,
∴O，C，D三点共线。

11.答案　36
解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对"，12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对"，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个。

三、解答题
12。解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上。
由于AB〉CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC,AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD。
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线。

13.证明　如图所示,连接A1B，CD1。显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1。
所以BD1⊂平面A1BCD1.
同理BD1⊂平面ABC1D1。
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，
所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C⊂平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1。
所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.

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