2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题02 排列数组合数的计算含解析.pdf

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足的正整数，(n-5)(n12)=()B-AL【例2】计算A；=【例3】计算A；。，A：；【例4】计算C【例5】计算C；。，；【例6】计算A；,A：。，C；,C0或+M例7已知A.=140A;求的值.【例8】解不等式【例10】解方程A；x=100Aj.【例11】解不等式A；.【例12】解方程：11C；=24C，【例13解不等式：C；-1 3C；.-5【例14】设瓦I表示不超过x的最大整数(如团=2,-=1),对于给定的，定义C：=R)xel,+oo),则当xg-,3时，函数C；的值域是()L 2 1【例15】组合数C；(a r1,n、re Z)恒等于()C.niC r-n-1【例16】已知CM:C：C：=3:5:5,求勿、的值.类型二、排列数组合数公式的应用1【例17】已知C；1+c祟求C%的值.【例18若C/6=c祟,SgN),则=【例 19若C：t：C；：C；+i=3：4：5,则一/=【例 20】证明：=G+l)C：+i+AC：n 1【例21】证明：VC占0 1+11n+1yc/+i,+2=0【例 22】求证：A-=A；+5-1)A：.n/?-1 n-【例23】证明：忒：=中2-k=0【例 24】证明：C1+2C2+3C3+L+/=-(C+C1+L+C).n n n n n n n【例 25】求证：C：+C+C+L+C,=C：，1；【例26】计算：C2+C；9，C：+C：+C：+L+或【例 27】证明：CC+C】C t+C2 ch2+l+C*C=C*.(其中AW min 位，n)m n m n m n m n n+m 7【例 28 解方程 C15=C：；+C：；+士 A：+3AtD X十 J Xtj 4 A1十 J【例29】确定函数A：的单调区间.【例30】规定A；=xO-l)L Cr-%+1),其中xeR,为正整数，且A：=l,这是排列数A：(，勿是正整数，且2 的一种推广.求A 3的值；15排列数的两个性质：A：=nA；，A：+wA；i=A(其中力，是正整数).是否都能推广到A：(xeR,勿是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足心13的正整数%(n-5)(/7-6).(n-12)=()A.A1吃 B.a：.5 C.D.A上【解析】C.【例2】计算耳=.【解析】2解2【例3】计算A：0,A：；【解析】Aj=720；A：=720【例4】计算C；=,C；=.【解析】C；=21；C；=21【例5】计算C：0,C；【解析】C1=120；C：=28 1U o【例6】计算A；,A：0,%隽,C：9+C）【解析】A；=210,A；o=5O4O,C；=35,C*=1225,C9+C；9=1140【例7】已知A；+i=140A：,求的值.解析由 A。=140A：,得（2+1）（2）（2 一1）（2-2）=140（1）（一 2）,故（2/7+1）（2/7-1）=35（/?-2）,SP 4/72-1=35/7-70,解得=3 或=?（舍）【例8】解不等式力；64；一2【解析】8【解析】由6/；2,得00 一口（9-才）6,有x=8,x=9或x=10,又x 8,故x=8【例 9】证明：A；-9A；+8A；=A；.【解析】证明:A；-9A；+8A；=A；-A；+8A；=8A；=A；【例101解方程A；x=100Aj.【解析】13【例111解不等式A；3C；.【解析】7或83【例14】设表示不超过X的最大整数(如0=2,7=1),对于给定的，定义C*=小|_4 x(x3、xcl,+8),则当xg，3j时，函数C；的值域是()16 16、A.,28 B.,56_3 J L3 JC/4,/吓8,56)d4,叫U作3【解析】D.【例15组合数C；(r2 l,、reZ)恒等于()A.-Cr-B.+C.mCT D.2c弋【解析】D.【例16】已知C：2:CM:C鬻=3:5:5,求、的值.【解析】由C工：C鬻=5:5知/+1+/+2=+2,即%+1=，又5C：2=3C鬻,解勿=2,=5.类型二、排列数组合数公式的应用【例17】已知Cr+C广C；CC7,求c%的值.-1）L 仿一 x+1）-1）L（x x+1）有8/一3-1=0,【解析】由喈+唱 1得C：2 C”C,即=3,所以C1330.【例18若C+6=C祟,SeN),则【解析】4【例19若C：i：C：C：+1=3：4：5,则一勿【解析】由n!（77-1）!（h-in+1）!n!m!（z?-in）!得7勿=3+3：4n!.n!m l（n-/77）!（77+1）!（/7-m-1）!4 fm=21得9勿=4/75,解方程组有5 刀=62 n-m=35故【例20】证明：M：=G+1)C7+8：【解析】证明：（A+DC=+AC*=a+l）-C*,+k-Ck=心,+C；=nC n n A+一 1 k 一 1 一 1 1【例21】证明：V Cy.茨+1 +1勺馍4【解析】证明：=-(cL1+cL,=C：%【解析】证明：C+C+CQ+L+C”=(C：+C J+C,9+L+Cn=C+C+L+C n+2/74-2 n+m=(q：;+c，2)+c 篇+c=C+；+Cn A+Cn=L/7+3+3 n+m=c/,+1,n+m+1【例26】计算:+C；9,C：+C；+C：+L+第【解析】C：9+C；9=C：oo=161700；C；+C1+C：+L+C：(C；+C；)+C：+L+C.=L=C：=C=1902 4 5 6 13 5 5,6 13 14 145【例 27】证明：C C+C 1C“t+C2c修+L+CkC=Ck.(其中 AWmin勿，)J 八 m n m n m n m n n+/n】)【解析】算两次，现有加+4个相同的球，其中黑球卬个，红球个，现从这0+中取出左个球(其中AWmin%/?),则共有C2种取法；另一方面，取出的A个球的颜色为红色的情形共有C：Cc：c二，c2c2,cc种情形，故cc+c】cj+c2(/-2+L+C*C=(/m n m n 11 1 z m n m n m n m n n+m【例 28解方程C=C；+C；W+wA【解析】由c，5=c+c：+3a3/号,c5+=c+c5 3+-a3+.x+5 x+3 x+3 4 x+3+5 x+6 x+3 4 x+6即C：+4+C L=C L+a，有C：m=|a，解得x=14【例29】确定函数A：的单调区间.【解析】f(x)=A：=La DG-2)=1/_/+%,求导/(x)=%22x+2,故在3,+00)上单调递增.【例30】规定A：=xG 1)L O-/Z7+1),其中xeR,m为正整数，且A：=l,这是排列数A：(，勿是正整数，且加W”)的一种推广.求AI的值；排列数的两个性质：A；=A：；,A：+rA：t=A：+(其中/，是正整数).是否都能推广到A：(xeR,m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.【解析】(1)A)=J15)J15 1)J15 2)=-1080性质能推广，推广形式为A：二妫：二，证明：当勿=1显然成立，当勿 22 时 一，A =x(-1)U-2)L(x-+1)=x(x-1)(x-2)L(y-+1)=xA =aA：故成立.性质能推广，推广形式为A：+勿A】=A证明：当勿=1显然成立，当勿 22时，A：=x(-l)G-2)L G/+1),zz?A：t=zz/x(-l)(y-2)L(y-zz?+2)所以 A：+mA；t=x(y-1)G-2)L(y-勿+1)+勿xQ-l)G-2)L(y-勿+2)6=x（jc-1）U-2）L（y-zz?+2）a 勿+1）+勿=（Y+1）（Y-1）（-2）L（Y-/77+2）=A,x+1故性质的推广成立.7