必修5解三角形的应用举例.doc

第2讲 解三角形应用举例

★ 知 识 梳理 ★
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角.

7.关于三角形面积问题
①=aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）
④＝；
⑤＝,；
⑥＝·,( r为△ABC内切圆的半径)

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题
2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；
（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，
问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得，，， ，，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）

解：在△ABD中，设BD=x，
则，
即整理得：
解之： ，（舍去），
由正弦定理，得： ,
∴≈11(km).
答：两景点与的距离约为11.km.

（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

问题2. 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.
分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.
解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，
根据正弦定理，得AE＝
在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝
∴EF＝EG＋b＝＋b，
答：气球的高度是＋b.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1:测量问题
题型:运用正、余弦定理解决测量问题
[例1] (2007·山东) 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.
北

甲
乙
[解析]如图，连结，由已知，
，
，
又，
图4-4-12
是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．．
因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．

【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
【新题导练】
A
B
1．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

解析：、解:

A
B
D
C

此时,甲、乙两船相距最近
2．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，。
在△AOB中，由正弦定理，得，
∴
而，即sin∠OAB>1,
∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.

考点2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题
题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质
[例2] （08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．

【解题思路】转化条件,分析图形建模.
【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分

∴ AC=700（米） …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ （米）. ………………………13分
【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

【新题导练】

1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．
A
C
B
北
北
152o
32 o
122o

2. （汕头市金山中学2009届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
C
A
B

解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度
C
A
B
为（y－0.5）米 在△ABC中，依余弦定理得：

即
化简，得 ∵，∴
因此
方法一：
当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练
1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（　）
　A．0.5小时　　　B．1小时 C．1.5小时　　　D．2小时
解析:设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中
PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，
即302＝x2＋402－2x·40cos450
化简得
｜x1－x2｜2＝（x1＋x2）2-4x1x2=400,|x1－x2｜＝20，即CD＝20
故]
2．在中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ）
A B C D
解析：∵ 的平分线把三角形面积分成两部分, ∴,∴ ∴
]

3．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq= .

[解析] 在△ABC中，AB = 100m , ÐCAB = 15°, ÐACB = 45°-15° = 30°
由正弦定理：
∴BC = 200sin15°
在△DBC中，CD = 50m , ÐCBD = 45°, ÐCDB = 90° + q
由正弦定理：Þcosq = .

4．如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.
解 R=rcosθ，由此得 ，

5.（08年韶关市二模） 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距的、两地（假设、、、在同一平面上），测得∠，，，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？

解：在中，由已知可得，
所以，………
在中，由已知可得，

由正弦定理，

在中，由余弦定理

所以， 施工单位应该准备电线长 .
答：施工单位应该准备电线长 .
综合拔高训练
6. 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°

在△ACD中，据正弦定理得，
∴
答 此时船距岛A为千米

7. 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值
解 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，
再设AB=a，AD=x，∴DP=x 在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
由正弦定理知 ∴BP=
在△PBD中，
,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，
∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，
sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，
∴AD∶DB=2－3

8. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风
刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小
船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小
船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
解析:设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
,
O
A
B
vt
2(1－k)t
4kt
15°
即,
整理得,
要使上式在（0，1）范围内有实数解，

则有且,
解得,
故当船速在内时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时人可以追上小船.