二次函数-数形结合.doc

明德致远 止于至善
课程标题

学习目标
复习二次函数图像知识
总结二次函数的综合题
重点与难点
二次函数的图像
二次函数的数形结合问题
学习过程
※ 学习探究
二次函数单独出现时不会很难，但为了达到综合考查的目的，二次函数往往会和几何类的知识一起综合出现，常见的有：直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、菱形....等。
下面就关于各种图形结合实例进行一一例讲：
一、 和三角形结合
1.如图，抛物线和直线 ()与轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴与轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．

2.如图1－2－24，△OAB是边长为2＋的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线经过点A′和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

3.已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、
y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=SΔPAB，求点P的坐标．

4.在ΔABC中，∠ABC＝90○ ，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示），若 tan∠BAC= ，求经过 A、B、C点的抛物线的解析式

5.在直角坐标系xoy中O是坐标原点，抛物线y=x2－x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图l－2－45，如果点M在y轴右侧的抛物线上，
S△AMO= S△COB，那么点M的坐标是_______-

6.如图1－2－50，教师提出：如图A（1，0），AB＝OA，过点A、B作ｘ轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交ｙ轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。同学讨论发现：
①2 ：3 ②
⑴请你验证①②结论成立；
⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？
⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和yH有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

7.已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）．经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
O
A
D
E
C
B
P
-1
-3
-2
-1
-2
3
-1
1
2
3
x
y
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′ ，请直接写出P′ 点坐标，并判断点P′ 是否在该抛物线上．

9.如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

A
B
M
P
O
N
x
y
x＝m
y＝x

10.如图，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，
与y轴相交于点C，且．
(1)求c的值；
(2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；

(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

12.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
第12题图

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

二、 和四边形结合
1.若抛物线与四条直线、、、所围成的正方形有公共点，则的取值范围是 ．

2.如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?

3.已知二次函数(a≠0）与一次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______

4.如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4），B点在y轴上。
（1）求m的值及二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A,B不重合），过点P做x轴的垂线与二次函数图像交于点E，设线段PE的长度为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请说明理由。

5.如图l－2－46，已知两点A（－1，0）,B(4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C
（1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长AD交半圆P于点E， 相等吗？
（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的表达式；若不存在，请说明理由.

6.如图l－2－48，Rt△PMN中，∠P＝90○ ，PM=PN，MN=8cm，矩形 ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令 Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(图l－2－49）直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2 ,求y与x之间的函数关系式．

7.已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

8.如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=，点B的坐标为(7，4)．
(1)求点A、C的坐标；
(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

9.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则
(填“”或“”)；
的取值范围是

10．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A（－3，0），过点C的直线y＝－2x＋4与x轴交于点D，二次函数y＝－x 2＋bx＋c的图象经过B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD；
O
C
B
A
P
D
x
y
（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11.已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12.如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．
（1）求点与点的坐标；
x
y
O
1
2
3
2
1

A
（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．