【省级联考】2018年山西省高考数学一模试卷(文科).doc

2018年山西省高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知集合U={x|x≤8}，集合A={x|x2﹣8x≤0}，则∁UA=（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．∅
2． 下列命题正确的是（　　）
A．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
B．命题“若a＜b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题
C．命题“∀x＞0，5x＞0”的否定是“”
D．“x＜﹣1”是“ln（x+2）＜0”的充分不必要条件
3． 已知tanα=3，则=（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
4． 已知向量在向量方向上的投影为2，且，则=（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5． 若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
6． 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积是（　　）

A．25π B．50π C．100π D．200π
7． 完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（　　）
多面体
顶点数V
面数F
棱数E
各面内角和的总和
三棱锥
4

6

四棱锥
5
5

五棱锥
6

（说明：上述表格内，顶点数V指多面体的顶点数．）
A．2（V﹣2）π B．2（F﹣2）π C．（E﹣2）π D．（V+F﹣4）π
8． 甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00﹣7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05﹣7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
9． 执行如图所示的程序框图，如果输入的n是10，则与输出结果S的值最接近的是（　　）

A．e28 B．e36 C．e45 D．e55
10． 在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3，AD=，sin∠ABC=，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C．6 D．12
11． 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
12． 若对于∀x1，x2∈（﹣∞，m），且x1＜x2，都有，则m的最大值是（　　）
A．2e B．e C．0 D．﹣1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13． 若复数，则复数z+1的模是　 　．
14． 已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）=0，当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）=　 　．
15． 如图，点A在x轴的非负半轴上运动，点B在y轴的非负半轴上运动．且|AB|=，BC⊥AB．设点C位于x轴上方，且点C到x轴的距离为d，则下列叙述正确的个数是　 　．
①d随着|OA|的增大而减小；
②d的最小值为，此时|OA|=；
③d的最大值为2，此时|OA|=；
④d的取值范围是．

16． 若双曲线的左焦点为F，右顶点为A，P为E的左支上一点，且∠PAF=60°，|PA|=|AF|，则E的离心率是　 　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）已知等比数列{an}中，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
18．（12.00分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF∥DE，AF⊥AD，且平面BED⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）若，求多面体ABCDEF的体积．

19．（12.00分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．
该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围
0～100
101～200
201～300
301～400
401～500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
（1）某人打算将A（0.3kg），B（1.8kg），C（1.5kg）三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
20．（12.00分）已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求E的方程；
（2）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．
21．（12.00分）已知函数．
（1）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式对于任意x∈[e﹣1，e]成立，求正实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（θ为参数，θ∈[0，π]），将曲线C1经过伸缩变换：得到曲线C2．
（1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求C2的极坐标方程；
（2）若直线（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且，求α的值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣a（a∈R）．
（1）若f（x）的最小值不小于3，求a的最大值；
（2）若g（x）=f（x）+2|x+a|+a的最小值为3，求a的值．

2018年山西省高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知集合U={x|x≤8}，集合A={x|x2﹣8x≤0}，则∁UA=（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．∅
【分析】由集合的补集的定义，计算即可得到所求集合．
【解答】解：集合U={x|x≤8}，集合A={x|x2﹣8x≤0}={x|0≤x≤8}，
则∁UA={x|x＜0}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的补集的求法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．

2． 下列命题正确的是（　　）
A．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
B．命题“若a＜b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题
C．命题“∀x＞0，5x＞0”的否定是“”
D．“x＜﹣1”是“ln（x+2）＜0”的充分不必要条件
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“若α=β，则sinα=sinβ”为真命题，则其逆否命题也为真命题，A正确；
对于B，命题“若a＜b，则ac2≤bc2”的逆命题为若ac2≤bc2，则a＜b，当c=0时，该命题为假命题；B错误；
对于C，命题“∀x＞0，5x＞0”的否定是“∃x0＞0，≤0，C错误；
对于D，x＜﹣1”是“ln（x+2）＜0”的既不充分也不必要条件，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判定，涉及知识点比较多，要掌握涉及的知识点．

3． 已知tanα=3，则=（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【分析】利用二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，化简函数解析式，可得结论．
【解答】解：∵tanα=3，则==tanα=3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

4． 已知向量在向量方向上的投影为2，且，则=（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由向量在向量方向上的投影为2即可得出，并且，这样即可求出的值．
【解答】解：在方向上的投影为2；
∴，且；
∴=2．
故选：D．
【点评】考查向量投影的概念及计算公式，以及向量数量积的计算公式．

5． 若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据不等式的性质求出|PA|+|PB|的最大值即可．
【解答】解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，
且点A（﹣1，0），B（1，0）为两个定点，
∴|PA|2+|PB|2=4，
∵（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2）=8，
∴|PA|+|PB|≤2，
当且仅当|PA|=|PB|=时“=”成立，
故|PA|+|PB|的最大值是2，
故选：B．
【点评】本题考查了直线和圆，考查不等式的性质，是一道中档题．

6． 《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积是（　　）

A．25π B．50π C．100π D．200π
【分析】四棱锥C1﹣ABB1A1的外接球即为直三棱柱的外接球，
也即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，
由此求出外接球的表面积．
【解答】解：由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
AA1=AC=5，AB=3，BC=4，
四棱锥C1﹣ABB1A1的外接球即为直三棱柱的外接球，
以AB、BC、BB1为共顶点，画出长方体，如图所示，
则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；
∴所求的外接球的直径为体对角线2R=AC1==，
∴外接球的表面积是S=4πR2=π•（2R）2=50π．
故选：B．

【点评】本题考查了空间几何体外接球的表面积的计算问题，是基础题．

7． 完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（　　）
多面体
顶点数V
面数F
棱数E
各面内角和的总和
三棱锥
4

6

四棱锥
5
5

五棱锥
6

（说明：上述表格内，顶点数V指多面体的顶点数．）
A．2（V﹣2）π B．2（F﹣2）π C．（E﹣2）π D．（V+F﹣4）π
【分析】填写表格，分别求出三棱锥，四棱锥，五棱锥的顶点数V，面数F，棱数E，各面内角和的总和，找出规律，确定答案为A
【解答】解：先完成下列表格
多面体
顶点数V
面数F
棱数E
各面内角和的总和
三棱锥
4
4
6
4π
四棱锥
5
5
8
6π
五棱锥
6
6
10
8π
（说明：上述表格内，顶点数V指多面体的顶点数．）
当n=3时，4π=2（4﹣2）π，
当n=4时，6π=2（5﹣2）π，
当n=5时，8π=2（6﹣2）π，
据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是2（V﹣2）π．
故选：A．
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

8． 甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00﹣7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05﹣7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
设甲和乙到达的分别为7时+x分、7时+y分，
则10≤x≤20，5≤y≤20，
甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，
则试验包含的所有区域是Ω={（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，
甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A={（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，
如图：

正方形的面积为20×15=300，阴影部分的面积为，
∴甲至少需等待乙5分钟的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题．

9． 执行如图所示的程序框图，如果输入的n是10，则与输出结果S的值最接近的是（　　）

A．e28 B．e36 C．e45 D．e55
【分析】模拟程序的运行过程，可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=e0•e1…•e9的值，即可计算得解．
【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=e0•e1…•e9的值，
由于S=e0•e1…•e9=e45．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

10． 在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3，AD=，sin∠ABC=，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C．6 D．12
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用正弦、余弦定理求得BC、AB的值，求得△ABC的面积．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，BC⊥CD，AC=3，AD=，sin∠ABC=，
设CD=x，则BD=x；
由勾股定理得BC=x，
∴AB=+x，
又sin∠ABC=，且∠CBA为锐角，
∴cos∠CBA=；
由余弦定理得：=，
解得x=3；
∴BC=3，AB=4；
∴△ABC的面积为
S△ABC=×3×4×=6．
故选：C．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是中档题．

11． 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接把三视图进行复原，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图得知：该几何体是由一个三棱柱和一个半个圆锥构成．
故：V=V1+V2，
=，
=16+．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．

12． 若对于∀x1，x2∈（﹣∞，m），且x1＜x2，都有，则m的最大值是（　　）
A．2e B．e C．0 D．﹣1
【分析】令f（x）=，利用导数法可得f（x）的单调递增区间，进而得到答案．
【解答】解：当x1＜x2时，，
若有，则，
即，即，
即，
令f（x）=，则f′（x）=，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足条件，
故m的最大值是0，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将已知转化为求f（x）=的单调递增区间是解答的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13． 若复数，则复数z+1的模是　2　．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数==2i﹣1，
则复数z+1=2i的模是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14． 已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）=0，当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）=　﹣1　．
【分析】由函数的奇偶性及周期性得到f（﹣21）+f（16）=f（﹣1）+f（0）=﹣f（1），由此能求出结果．
【解答】解：由f（﹣x）+f（x）=0，知f（x）是定义在R上的奇函数，
又f（x+4）=f（x），且当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，
∴f（﹣21）+f（16）=f（﹣1）+f（0）
=﹣f（1）=﹣（﹣121﹣1）=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15． 如图，点A在x轴的非负半轴上运动，点B在y轴的非负半轴上运动．且|AB|=，BC⊥AB．设点C位于x轴上方，且点C到x轴的距离为d，则下列叙述正确的个数是　2　．
①d随着|OA|的增大而减小；
②d的最小值为，此时|OA|=；
③d的最大值为2，此时|OA|=；
④d的取值范围是．

【分析】设A（a，0）（），B（0，b），（）．C（x，y）（y＞0）．由|AB|=，BC⊥AB．可得a2+b2=6，x2+（y﹣b）2=2，=﹣ax+b（y﹣b）=0，即x=（a≠0时）．代入可得：+（y﹣b）2=2，化为：y=b+=+=f（a），利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：设A（a，0）（），B（0，b），（）．C（x，y）（y＞0）．
∵|AB|=，BC⊥AB．
∴a2+b2=6，x2+（y﹣b）2=2，=﹣ax+b（y﹣b）=0，即x=（a≠0时）．
代入可得：+（y﹣b）2=2，
化为（y﹣b）2=．
∴y=b+=+=f（a），
时，f′（a）=，
可得函数f（a）在（0，）单调递增，（，）单调递减．
f（0）=，f（）=2，f（）=．
①d随着|OA|的增大而减小，不正确；
②d的最小值为，此时|OA|=，正确；
③d的最大值为2，此时|OA|=，正确；
④d的取值范围是，不正确．
综上可得：正确的答案为2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

16． 若双曲线的左焦点为F，右顶点为A，P为E的左支上一点，且∠PAF=60°，|PA|=|AF|，则E的离心率是　4　．
【分析】根据题意可得△PAF为等边三角形，设双曲线的右焦点为F1，根据双曲线的定义和余弦定理即可得到c2﹣3ac﹣4a2=0，再求出离心率即可．
【解答】解：由题意可得∠PAF=60°，|PA|=|AF|，
∴△PAF为等边三角形，
∴|PF|=|AF|=a+c，
设双曲线的右焦点为F1，
∴|PF1|=2a+|PF|=3a+c，
∵|F1F|=2c，
由余弦定理可得|PF1|=|PF|2+|FF1|2﹣2|PF||FF1|cos60°，
即（3a+c）2=（a+c）2+4c2﹣2（a+c）•2c×，
∴c2﹣3ac﹣4a2=0，
∴e2﹣3e﹣4=0，
∴e=4，
故答案为：4．

【点评】本题考查双曲线的离心率，双曲线的性质和余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12.00分）已知等比数列{an}中，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
因为，
所以，
因为q＞0，解得q=2，
所以；
（2），
设cn=n﹣7，
则，
T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n，
=，
=（﹣c1+c2）（c1+c2）+（﹣c3+c4）（c3+c4）+…+（﹣c2n﹣1+c2n）（c2n﹣1+c2n），
=c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n，
=，
=2n2﹣13n．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用．

18．（12.00分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF∥DE，AF⊥AD，且平面BED⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）若，求多面体ABCDEF的体积．

【分析】（1）连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC⊥BD，再由已知结合面面垂直的性质可得AC⊥ED，则AF⊥AC，又AF⊥AD，由线面垂直的判定可得AF⊥平面ABCD，进一步得到AF⊥CD；
（2）由VABCDEF=VE﹣BCD+VB﹣ADEF，然后分别求出两个棱锥的体积得答案．
【解答】（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC⊥BD，
∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，
∴AC⊥平面BED，得AC⊥ED，
又AF∥DE，∴AF⊥AC，
∵AF⊥AD，AC∩AD=A，∴AF⊥平面ABCD，
∵CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD；
（2）解：VABCDEF=VE﹣BCD+VB﹣ADEF，
由（1）知AF⊥平面ABCD，又AF∥DE，∴DE⊥平面ABCD，
则=，
取AD的中点H，连接BH，则BH⊥AD，BH=，
由（1）可知BH⊥AF，∴BH⊥平面ADEF，
则，
∴，
即多面体ABCDEF的体积为．

【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．

19．（12.00分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．
该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围
0～100
101～200
201～300
301～400
401～500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
（1）某人打算将A（0.3kg），B（1.8kg），C（1.5kg）三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
【分析】（1）由题意，寄出方式有三种可能，利用列举法求出所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，能求出该人支付的快递费不超过30元的概率．
（2）将题目中的天数转化为频率，求出若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司平均每日利润的期望值为260×5﹣3×100=1000元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司平均每日利润的期望值为235×5﹣2×100=975元，从而得到
公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．
【解答】解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：
情况
第一包裹
第二个包裹
甲支付的总快递费
礼物
重量（kg）
快递费（元）
礼物
重量（kg）
快递费（元）
1
A
0.3
10
B，C
3.3
25
35
2
B
1.8
15
A，C
1.8
15
30
3
C
1.5
15
A，B
2.1
20
35
所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为．
（2）将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
0：100
101：200
201：300
301：400
401：500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
350
450
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260
故公司平均每日利润的期望值为260×5﹣3×100=1000（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
300
300
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235
故公司平均每日利润的期望值为235×5﹣2×100=975（元）
故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20．（12.00分）已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求E的方程；
（2）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．
【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得P点坐标，代入椭圆方程，求得4t2=m2+2，根据三角形的面积公式，利用基本不等式即可求得三角形的面积的最小值．
【解答】解：（1）由已知得c=1，2a=+=2，
∴a=，b=1，则E的方程为；
（2）设AB：x=my+t（m≠0）代入得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，△=4m2t2﹣4（m2+2）（t2﹣2）=8（m2+2﹣t2），
设P（x，y），由，得
y=y1+y2=﹣，x=x1+x2=m（y1+y2）+2t=，
∵点P在椭圆E上，∴+=1，即=1，∴4t2=m2+2，
在x=my+t中，令y=0，则x=t，令x=0，则y=﹣．
∴三角形面积S=|xy|=×=×=（|m|+）≥×2=，
当且仅当m2=2，t2=1时取得等号，此时△=24＞0，
∴所求三角形面积的最小值为．
【点评】本题考查椭圆的方程及定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．

21．（12.00分）已知函数．
（1）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式对于任意x∈[e﹣1，e]成立，求正实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）原题等价于对任意x∈[，e]，有﹣alnx+xa≤e﹣1成立，设g（x）=﹣alnx+xa，a＞0，所以g（x）max≤e﹣1，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而确定a的范围即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x﹣（a+1）+=，
若0＜a＜1，
当0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
若a≤0，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
当0＜a＜1时，函数f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a）和（1，+∞）上单调递增．
（2）原题等价于对任意x∈[，e]，有﹣alnx+xa≤e﹣1成立，
设g（x）=﹣alnx+xa，a＞0，所以g（x）max≤e﹣1，
g′（x）=，
令g′（x）＜0，得0＜x＜1；令g′（x）＞0，得x＞1，
所以函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，
g（x）max=max（g（）=a+e﹣a，g（e）=﹣a+ea），
设h（a）=g（e）﹣g（）=ea﹣e﹣a﹣2a（a＞0），
则h′（a）=ea+e﹣a﹣2＞2﹣2=0，
所以h（a）在（0，+∞）上单调递增，
故h（a）＞h（0）=0，
所以g（e）＞g（），
从而g（x）max=g（e）=﹣a+ea，
所以﹣a+ea≤e﹣1，即ea﹣a﹣e+1≤0，
设φ（a）=ea﹣a﹣e+1（a＞0），则φ′（a）=ea﹣1＞0，
所以φ（a）在（0，+∞）上单调递增，
又φ（1）=0，所以ea﹣a﹣e+1≤0的解为a≤1，
因为a＞0，所以正实数a的取值范围为（0，1]．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（θ为参数，θ∈[0，π]），将曲线C1经过伸缩变换：得到曲线C2．
（1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求C2的极坐标方程；
（2）若直线（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且，求α的值．
【分析】（1）利用函数的伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用曲线之间的关系，建立等量，求出结果．
【解答】解：（1）C1的普通方程为x2+y2=1（y≥0），
把，
代入上述方程得，，
∴C2的方程为，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以C2的极坐标方程为；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
由，得ρA=1，
由，
得，
而，
∴，
而α∈[0，π]，
∴或．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的求值问题的应用．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣a（a∈R）．
（1）若f（x）的最小值不小于3，求a的最大值；
（2）若g（x）=f（x）+2|x+a|+a的最小值为3，求a的值．
【分析】（1）由题意可得﹣a≥3，解得即可，
（2）取绝对值化为分段函数，求出函数的最值，即可得到a的值．
【解答】解：（1）因为f（x）min=f（1）=﹣a，
所以﹣a≥3，解得a≤﹣3，
即amax=﹣3；
（2）g（x）=f（x）+2|x+a|+a=|x﹣1|+2|x+a|，
当a=﹣1时，g（x）=3|x﹣1|≥0，0≠3，所以a=﹣1不符合题意，
当a＜﹣1时，g（x）=，即g（x）=，
所以g（x）min=g（﹣a）=﹣a﹣1=3，解得a=﹣4，
当a＞﹣1时，同法可知g（x）min=g（﹣a）=a+1=3，解得a=2，
综上，a=2或﹣4．
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法恒成立问题以及绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．

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