数学理卷·2014届湖北省武汉二中高三全真模拟考试.doc

试卷类型：A
武汉二中2014届高三全真模拟试卷二
数学试题（理科）
【试卷综述】试卷在考查基本知识、基本技能和基本思想的基础上,突出了对考生数学空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查。对支撑高中数学学科的主干知识模块，如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查,但难度相对较小，体现命题者坚定推行新课程改革的决心及勇气，也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则.试题很好地区分了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况。试卷具有较高的信度、效度和区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标。

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知是虚数单位,则等于( ）
A。 B。 C。 D。
【知识点】复数的除法.
【答案解析】 A 解析 :解：,故选答案A。
【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数，变成a+bi这种形式即可.
2。 设集合，则＝（ )
A。 B。 C。 R D。
【知识点】一元二次不等式；集合的并集运算.
【答案解析】 B 解析 ：解：,，故选B.
【思路点拨】把集合A的范围求出后和集合B取交集即可.
3。 定义行列式运算：,若将函数的图象向左平移
个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是（ ）
A。 B. C. D.
【知识点】三角函数的化一公式；图象的平移；偶函数。
【答案解析】 C 解析 ：解：，其图象向左平移个单位长度后解析式为,其为偶函数,则,当
时， .
【思路点拨】由行列式的定义得到函数f（x)的解析式，再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m的式子,求得最小值.
4。 已知点,向量，若，则实数的值为（ ）
A. 5 B。 6 C. 7 D. 8
【知识点】向量平行的坐标运算。
【答案解析】 C 解析 ：解:,,则6—(y-1）=0，解得y=7.
【思路点拨】找到和的坐标，利用向量共线的充要条件即可求得。
5。 设实数满足条件,若目标函数的最大值为12，则
的最小值为（ ）
A. B。 C。 D。 4
【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.
【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4，6）时,目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12∴4a+6b=12即2a+3b=6
则，当且仅当即
时取等号,故选A.
【思路点拨】由已知可得2a+3b=6,则,然后利用基本不等式可求最小值。
【典型总结】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题，要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值。
6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方
法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则
所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）
A。 B. C。 D。
【知识点】抽样方法；概率的计算.
【答案解析】 C 解析 ：解:抽取40人中高级管理人员共人， 则
所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率，答案C正确.
【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.
7。 如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；
②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图。其中真命题
的个数是（ ）

正视图 侧视图

A. 3 B. 2 C。 1 D. 0
【知识点】三视图和直观图的转化.
【答案解析】 A 解析 :解：易知①③成立，对于②，存在满足题意的三棱锥，其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点，侧棱长是底面直角三角形直角边的倍。
【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、
侧棱长和底面三角形直角边的等量关系。
8。 已知函数（e为自然对数的底数），且,则实数的取值范围
为（ ）
A. B。
C. D。
【知识点】函数单调性的性质．
【答案解析】 A 解析 :解：∵f（x)=e｜x|+x2，∴f（—x）=e|-x|+(—x）2=e｜x｜+x2=f（x）
则函数f（x）为偶函数且在[0，+∞)上单调递增∴f（-x）=f（x）=f（|—x|）
∴f（3a-2）=f（|3a-2|）＞f（a—1）=f（|a—1｜）,即｜3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a2—10a+3＞0, 解得a＜或a＞故选A．
【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f（3a-2)＞f（a—1）转化成f（|3a—2|）＞f（｜a-1｜),根据单调性建立不等关系，解之即可．
【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力，属于基础题．
9. 是双曲线左准线上一点,分别是其左、右焦点,与双曲线右支交于点
Q,且，则的值为（ ）
A. B。 4 C。 D。
【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义。
【答案解析】 D 解析 ：解：设Q的横坐标为x，因为得x=，由双曲线的第二定义得.
【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q的横坐标，再利用双曲线的第二定义得的值.
10. 定义在R上的函数满足，且当时，
，则的值为（ ）
A. B。 C. D。
【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值。
【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（0)＝0，f(x）+f(1−x)＝1，
,，
。,且当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），
,又
,，
，故选B.
【思路点拨】根据已知条件,可求出，再因为当0≤x1＜x2≤1时,有f（x1）≤f（x2），可找到的范围为，再根据
求出的值, 为同一个值, 所以的值也等于这个值．
二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题,每小题5分,共25分)
（一)必考题(1114题）
11。 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速是否合理,对通过该路段的300辆汽车
的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆.
【知识点】频率分布直方图.
11题图
【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为
1-0.3—0.1=0。6，则车速低于限速的汽车数量为300＊0.6=180
【思路点拨】求出低于限速的频率，再用样本容量乘以频率即可
得到满足题意的汽车数量。

12. 某程序的框图如图所示，若输出的结果不大于37，则输入的整数的最大值为 。
【知识点】程序框图的应用.
12题图
【答案解析】 5 解析 ：解:由S=0，n=0得出S=0+20+1=2,n=1；
由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2；
由S=5,n=2得出S=5+22+1=10，n=3;
由S=10，n=3得出S=10+23+1=19,n=4；
由S=19，n=4得出S=19+24+1=36＜37，n=5;
由S=36，n=5得出S=36+25+1＞37，
∴当S=36时为满足条件时输出的结果，应终止循环,
因此判定输入的整数i的最大值为5．
【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S的值，直到满足S不大于37时，进而即可得出结论．
13。 已知不等式，对满足的一切实数都成立，则实数的
取值范围为 。
【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.
【答案解析】 解析 ：解：由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2）≥(1×x+2×y+2×z)2,∴—3≤x+2y+2z≤3，当且仅当,即y＝z＝2x＝
时,右边取等号;同理当且仅当y＝z＝2x＝− 时左边取等号．所以,解得

【思路点拨】由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2)≥（1×x+2×y+2×z）2，即可得出x+2y+2z的取值范围，进而求得a的取值范围.
14。 如图，对大于等于2的自然数的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,的“分裂”中最大的数是 ；的“分裂”中最大的数是 。
【知识点】归纳推理．
【答案解析】 11
解析 ：解:对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂"，不难发现:在n2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂"中最大的数是11；在m3（m为奇数）的“分拆"的最大数是m2+m—1,所以20132+2012=4054181，写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．
【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n—1;在m3中，所分解的最大数是m2+m-1．根据发现的规律可求．

14题图

（二）选考题（1516题)
15. （几何证明选讲）如图,在中，直径AB与弦CD垂直,垂足为
E,,垂足为F，若AB＝6,，则AE＝ 。
【知识点】与圆有关的比例线段．
【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得：
CE2=CF•CB,且CE2=AE•EB，又CF•CB=5,∴AE•EB=5，
即AE•（AB—AD）=5,又AB=6,∴AE•（6-AE）=5，解之得AE=1．故答案为：1
【思路点拨】由于CD垂直于直径AB，且EF⊥BC，AB为圆的直径，根据射影定理得,CE2=CF•CB，且CE2=AE•EB，从而得出AE•EB=5，又AB=6，从而有AE•(6-AE）=5,由此可解出AE的值．
16。 （坐标系与参数方程）曲线C的极坐标方程是，设直线的参数方程是（t为参数）,直线与x轴的交点是M，而N为曲线C上一动点，则的最大值是 。
【知识点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程．
【答案解析】 解析 :解：∵曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，两边同时乘以ρ,化为普通方程为 x2+y2=2y，即  x2+（y-1)2=1,表示以（0,1）为圆心，以1为半径的圆．直线l的参数方程是(t为参数）,消去参数t 可得  4x+3y-8=0,直线l与x轴的交点是M（2，0）,M到圆心的距离等于，故｜MN|的最大值为.
【思路点拨】曲线C化为普通方程为 x2+y2=2y，即  x2+（y-1）2=1，直线l的方程是4x+3y-8=0,M（2，0），M到圆心的距离等于，故|MN|的最大值为。
三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17。 （本题满分12分）
已知函数,。
（1）求函数的最小正周期;
(2）求在上的最大值和最小值。
【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式；化一公式；三角函数的最值.
【答案解析】 (1）（2）
解析 ：解:(1）

于是（1）函数的最小正周期
（2）
（12分）
【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为,即可求出最小正周期T;
(2)由x得范围得到的范围，从而求得最大值和最小值。
18。 （本题满分12分）
设数列的前n项和为，,且对任意正整数n,点在直线上。
（1）求数列的通项公式；
(2）若,求数列的前n项和.
【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式。
【答案解析】 （1) （2）
解析 :解：(1）因为点在直线上,所以 （1分）
当时， (2分)
两式相减得,即 （3分）
又当时， （4分）
所以数列是首项,公比的等比数列，其通项公式为 （6分）
（2）由（1）知，, （7分)
记数列的前n项和为,则 （8分）
（9分）
两式相减得 （11分）
所以数列的前n项和为 （12分）
【思路点拨】(1）由已知条件可得,可得n≥2时, ,相减后再得数列{an｝是以1为首项，公比为的等比数列,再求出通项公式;
（2)根据（1）和条件求出bn，再利用错位相消法求出其前n项和Tn，然后化简整理求出前n项和．
19. (本题满分12分)
如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直。
(1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F,使？若存在，求出；若不存在,请说明理由.
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定;
向量语言表述线面的垂直、平行关系.
【答案解析】（1)（2）略

解析 :解：(1）设O为AB的中点,连接OD、OE，因为平面平面ABCD，且,
所以平面ABCD，所以,在直角梯形ABCD中,由CD＝OB，可得,由OB、OD、OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系。
因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE＝1 （2分）
由AB＝2CD＝2BC＝2得，
所以，平面ABE的一个法向量为 （4分）
设直线EC与平面ABE所成的角为,所以，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 (6分）
（2）存在点F，且时,有平面FBD (7分)
证明如下：由,所以 （8分）
设平面FBD的法向量为,则有，
所以,取得，得 （10分）
因为，且平面FBD,所以平面FBD.
即点F满足时,有平面FBD. （12分）
【思路点拨】（1）由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系,确定平面ABE的一个法向量为,
，利用向量的夹角公式,可求直线EC与平面ABE所成的角；
（2）存在点F，且时,有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明
即可.
20。 （本题满分12分）
中国蓝球职业联赛(CBA）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总
决赛时,根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入万元，以后每场比赛票房收
入比上一场增加万元，当两队决出胜负后,求：
(1）组织者至少可以获得多少票房收入？
（2）决出胜负所需比赛场次的均值.
【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用。
【答案解析】
解析 ：解:(1）设n为比赛的场数，为第n场比赛的票房收入，
则 （2分）
，组织者至少可以获得票房收入是:万元
（2）（理)当表示决出胜负的比赛场数，则的取值为4,5,6，7, （5分）
（6分） (7分)
（8分) （9分）
的概率分布列为：

4
5
6
7

， （11分）
所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）
【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局，由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）,计算可得答案；
（2）根据题意，要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望，可以设两队为甲队、乙队，再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7，分别计算ξ=4、5、6、7时的概率，进而由期望计算公式计算可得答案．
21。 （本题满分13分）
已知椭圆经过点,且离心率.
（1）求椭圆C的方程;
（2）是否存在过点的直线,使得与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的
圆经过坐标原点O？若存在,求出直线的方程；若不存在，说明理由。
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程。
【答案解析】(1）(2）略
解析 ：解：(1）由题意知，
即,所以，椭圆的方程为 （2分)
又因为为椭圆上的点,所以解得,可知，
所以,椭圆C的方程为 （5分）
（2)因为直线经过椭圆内的点,所以直线与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线的斜率不存在时，其方程是,代入得,可知,
所以,以MN为直径的圆不经过坐标原点O (7分）
当直线的斜率存在时,可设的方程为，
由得,
， （9分）
若以MN为直径的圆经过坐标原点O,则 （10分）
可得
即,解得。综上所述,存在过点的直线，使得以被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O，的方程为 （13分）
【思路点拨】（1）根据椭圆C：经过点A ，且离心率e=
,结合b2=a2—c2，即可求得椭圆C的方程;
（2)因为直线l经过椭圆内的点B（—1，0）,所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=—1,以MN为直径的圆不经过坐标原点O，当直线l的斜率存在时，设方程是y=k（x+1），将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN为直径的圆经过坐标原点O。
22. （本题满分14分）
设函数.
（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；
（2）若函数是定义域上的单调函数，求实数b的取值范围;
（3）若,证明对任意的正整数，不等式成立。
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性。
【答案解析】
解析 ：解：（1）由，得. 的定义域为 （1分）
因为对，都有的最小值,
故有. (2分）
又,解得 （3分)
经检验，当时，在上单调递减,在上单调递增，为最小值,
故满足成立。 (4分）
(2)，又函数在定义域上是单调函数.
在上恒成立 （6分）
即恒成立，由此得； （8分）
若,则在上恒成立.即恒成立.
因为在上没有最小值，不存在实数b使恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是. （10分）
（3）当时，函数. 令
则,当时,,
所以函数在上单调递减又当时，恒有,
即恒成立。故当时，有 (12分）
，取,则有. （14分）
【思路点拨】(1）由x+1＞0，得f(x）的定义域为（-1,+∞）。因为对x∈(—1，+∞），都有f（x）≥f（1）,所以f(1）是函数f（x）的最小值,故有f′（1）=0由此能求出b。
（2）由,函数f(x）在定义域上是单调函数，知f′（x)≥0或f′（x）≤0在（_1,+∞)上恒成立．由此能求出实数b的取值范围．
（3）当b=1时,函数f（x）=x2-ln（x+1）．令h(x）=f（x）-x3=—x3+x2-ln（x+1），
则由此入手能够证明