动力学的临界和极值问题.doc

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动力学的临界和极值问题

教学目标：
教学重点、难点：
新课引入：
教学过程：
一、临界和极值
在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。
1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力，而且此时它们的速度相等，加速度相同。
【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（　　）
F
A、一直加速 B、先减速，后加速
C、先加速、后减速 D、匀加速

答案：
　【例】如图所示，劲度系数为的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为的托盘，托盘上有一个质量为的木块。用竖直向下的力将原长为的弹簧压缩后突然撤去外力，则即将脱离时的弹簧长度为（ ）
A、 B、

C、 D、

答案：
a
P
A
45°
【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为的光滑楔形滑块的顶端处，细线的另一端拴一质量为的小球。当滑块至少以加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以的加速度向左运动时，线的拉力大小。

答案：、

【例】一个质量为的小球用细线吊在倾角的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

答案：、0

【例】如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块、。它们的质量分别为、，弹簧的劲度系数为, 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力沿斜面方向拉物块使之向上运动，求物块刚要离开时物块的加速度和从开始到此时物块的位移，重力加速度为。

答案：①；
②。

【例】如图所示，一根劲度系数为质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为的物体。手持一质量为的木板，向上托，使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度（）匀加速向下运动，求：
（1）经过多长时间、分离。
（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。

答案：①；
②最大：；最小：。
解：①分离时弹力为0，而且加速度为；
②开始运动时力最大：
对系统：；
分离时力最小：
对：
【例】如图所示，木块、的质量分别为、，紧挨着并排放在光滑的水平面上，与间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角，与间的接触面光滑。现施加一个水平力作用于，使、一起向右运动且、一不发生相对运动，求的最大值。

答案：
【例】如图所示，一质量为的物块与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为的物块叠放在的上面，、处于静止状态。若、粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提，当拉力的大小为时，物块上升的高度为，此过程中，该拉力做功为；若、不粘连，用一竖直向上的恒力作用在上，当物块上升的高度也为时，与恰好分离。重力加速度为，不计空气阻力，求恒力的大小。
B
A

答案：
解：静止时，对：；
粘连时，缓慢地提：
对：；
又
不粘连，分离时：；
对：；
对：；
由以上各式可得：。

【例】如图所示，质量的小球挂在倾角为的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：（重力加速度为）
（1）时，绳子拉力和斜面的弹力大小；
α
（2）时，绳子拉力和斜面的弹力大小。

答案：① ；② 0

2、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：。
【例】如下图所示，两绳系一个质量为的小球，两绳的另一端分别固定于轴的、两处，上面绳长,两绳都拉直时与轴夹角分别为和。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？

答案：

【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为和，物体的质量为。当小车以大小为的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少？

答案：0 。

3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。
【例】物体的质量，静止在光滑水平面上的平板车的质量为、长。某时刻以向右的初速度滑上木板的上表面，在滑上的同时，给施加一个水平向右的拉力。忽略物体的大小，已知与之间的动摩擦因数，取重力加速度。试求:
（1）若，物体在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；
（2）如果要使不至于从上滑落，拉力大小应满足的条件。

答案：①；②。
解：①由牛顿第二定律：
对：；
对：；
此后，物体将做减速运动，而将加速，直到达到共速；
有： 得：
此时，相对位移
之后，将从的左端滑下。
②当较小时，将从的右端滑下，临界条件是：到达的右端时，、具有共同的速度。
当较大时，将从的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，、相对静止。此时：。

【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为，盘与桌面间的动摩擦因数为。现突然以恒定加速度将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度满足的条件是什么?(以表示重力加速度)

答案：
解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为，末速度为0），则有：
对圆盘：；
加速阶段：；；
减速阶段：；；
设桌布从盘下抽出所经历时间为，在这段时间内桌布移动的距离为。
对桌布：；
由运动情况：；。
由以上各式得：。

【例】如图所示，一质量的木箱放于质量的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离，已知木箱与木板间的动摩擦因数，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的倍。平板车以的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：
（1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间？

（2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少？

答案：①；②。
解：①设箱的位移为，车的位移为；
车的加速度为。
箱子如果不与车相碰，则有：

由牛顿定律，对箱：；
由运动学公式，对箱：；
对车：；
由以上各式有：，所以。
②设汽车的制动力为，由牛顿第二定律：

得：

【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度开始启动沿直线运动。当其速度达到后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？

【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为薄木板和质量为的金属块。的长度。上有轻线绕过定滑轮与质量为的物块相连。与之间的滑动摩擦因数，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，位于的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后从的右端脱离（设的右端距滑轮足够远）（）。

【例】一圆环套在一均匀圆木棒上，的高度相对的长度来说可以忽略不计。和的质量都等于，和之间的滑动摩擦力为（）。开始时竖直放置，下端离地面高度为，在的顶端，如图所示。让它们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短，不考虑空气阻力，问：在再次着地前，要使不脱离，至少应该多长？

答案：；
解：开始释放后，、一起做自由落体运动，
设其到达地面前瞬间的速度为。
由机械能守恒：；
与地面撞击后，环将做加速运动（设其加速度为），而将做减速运动（设其加速度为），当的速度减为0后，反向又以加速，直到再次落地，由对称性可知：此时的速度依然为。
由牛顿第二定律，对：；
对：；
故它们运动的时间为：；
此时：棒运动的位移为0，环相对于棒运动的位移，对环：
有：；
棒的长度：，即。

4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：。
A
B
F
【例】如图所示，质量分别为和的两物体、叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知、间的最大摩擦力为物体重力的倍，若用水平力分别作用在或上，使、保持相对静止做加速运动，则作用于、上的最大拉力与之比为多少？

答案：
【例】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为和的四个木块，其中两个质量为的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是。现用水平拉力拉其中一个质量为的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对的最大拉力为（ ）
A、
B、
C、
D、

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