中考专题图形与几何(菱形和正方形).doc

(word完整版)中考专题图形与几何(菱形和正方形)
【菱形的性质及判定】
1。如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（ )

A。 AC⊥BD B。 AB=BC C。 AC=BD D. ∠1=∠2
解答：
A。 正确.对角线相等是平行四边形的菱形.
B. 正确.邻边相等的平行四边形是菱形.
C. 错误。对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形.
D. 正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形。
故选C。
2。如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO。
(1)求证：△CDP≌△POB；
(2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形。

解答：
（1)证明:∵PC=PB，D是AC的中点,
∴DP∥AB，
∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=AB，
∴DP=BO,
在△CDP与△POB中,
DP=BO，∠CPD=∠PBO,PC=PB；
∴△CDP≌△POB(SAS）；

（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，
(4÷2)×(4÷2）
=2×2
=4;
②如图:
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∵四边形BPDO是菱形，
∴PB=BO,
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO,
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA的度数为60∘.
故答案为：4；60∘。

3。如图,在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60∘，点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。
(1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2)填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
          ②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.

解答:
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2)①当AM的值为1时,四边形AMDN是矩形。理由如下：
∵AM=1=AD,
∴∠ADM=30∘
∵∠DAM=60∘,
∴∠AMD=90∘，
∴平行四边形AMDN是矩形；
故答案为：1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形.理由如下:
∵AM=2，
∴AM=AD=2，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=DM，
∴平行四边形AMDN是菱形，
故答案为：2.

4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘,BC=5，∠C=30∘。点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D、E运动的时间是t秒(t〉0）。过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。

（1)求AB，AC的长；
（2)求证：AE=DF；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
(4）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由.
解答：
(1）设AB=x，
∵∠B=90∘，∠C=30∘,
∴AC=2AB=2x。
由勾股定理得，(2x)2−x2=(5）2，
解得：x=5，
∴AB=5，AC=10.
(2）证明：在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=2t，
∴DF=CD=t。
又∵AE=t，
∴AE=DF。
(3)四边形AEFD能够成为菱形.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF。
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形.
∵AB=5，
∴AC=10.
∴AD=AC−DC=10−2t.
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10−2t，解得：t=。
即当t=时,四边形AEFD为菱形。
（4）当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形,理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF=90∘时,10−2t=2t,t=.
②∠DEF=90∘时,10−2t=t，t=4。
③∠EFD=90∘时，此种情况不存在。
故当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形。
5。矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F，连接EF，点M为EC的中点，N点为AE上的一个动点，AB=6。
（1）证明：△ABE≌△CDF；
(2)填空：①当BC= 时,四边形AECF为菱形；
②在①的条件下,当ON= 时，四边形ONMC为平行四边形。

解答:
(1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D=90∘，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAE=∠BAC，∠DCF=∠ACD，
∴∠BAE=∠FCD，
在△ABE和△CDE中，
∠BAE=∠DCF，AB=CD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。
(2) 当BC=6时，四边形AECF是菱形.
理由：在Rt△ADC中,∵AD=BC=6,DC=6，
∴tan∠DAC=CD:AD=，
∴∠DAC=30∘，∠ACD=60∘,
∴∠ACF=∠DCF=30∘,
∴DF=CD·tan30∘=2，
∴CF=2DF=4,AF=AD−DF=6−2=4，
∴AF=CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF,
∵AD=BC，
∴AF=CE，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=FC，
∴四边形AECF是菱形。
故答案为6。
(3）当AN=NE时，∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∴ON∥EC，
∵AN=NE，EM=CM,
∴NM∥AC,
∴四边形ONMC是平行四边形，
∴ON=CM=EC=×4=2。
故答案为2.
【菱形的判定】
6.在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E，求证：四边形ADCE是菱形。

解答：
证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是菱形.
7.在△ABC中,M是AC边上的一点,连接BM。将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证:四边形ABMD是菱形.

解答：

证明：∵AB∥DM,
∴∠BAM=∠AMD,
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM,
∴四边形ABMD是菱形.
8。如图，在四边形ABCD中,AB=AD，BC=DC,AC、BD相交于点O，点E在AO上,且OE=OC.
(1）求证:∠1=∠2；
(2)连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状，并说明理由。

解答:
(1）证明：∵在△ADC和△ABC中,
AD=AB,AC=AC，DC=BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠1=∠2;
(2)四边形BCDE是菱形;
证明：∵∠1=∠2,CD=BC，
∴AC垂直平分BD，
∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形。

【正方形的性质与判定】
1.我们知道：四边形具有不稳定性。如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O，固定点A，B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）

A. （，1) B。 (2,1） C. (1，） D。 (2,）
解答：
∵AD′=AD=2，
AO=AB=1，
∴OD′=,
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C（2，)，
故选D.
2.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上,AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处。若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为 。

解答：
（i)如图1所示:当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD,则∠B′GE=90∘。

当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8.
由AE=3，AB=16,得BE=13.
由翻折的性质，得B′E=BE=13。
∴EG=AG−AE=8−3=5，
∴B′G=12，
∴B′H=GH−B′G=16−12=4,
∴DB′=4
（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合)。
(iii)如图2所示：

当CB′=CD时，
∵EB=EB′,CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意,舍去。
综上所述,DB′的长为16或4.
故答案为：16或4.