双曲线专题复习讲义及练习.doc

(完整版)双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当时， 的轨迹为双曲线;
当时， 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
（2）双曲线的第二义
平面内到定点与定直线（定点不在定直线上)的距离之比是常数（)的点的轨迹为双曲线
2。 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

性

质
焦点
，

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

渐近线

与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：
与双曲线共轭的双曲线为
等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；

★重难点突破★
1。注意定义中“陷阱"
问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支
，的轨迹是双曲线的右支.其方程为
2。注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为
点拨:当焦点在x轴上时,,；当焦点在y轴上时，,
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
［例1 ］ 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置。(假定当时声音传播的速度为340m/ s ：相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
［解析］如图，以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020,0），C（0，1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得｜PA|=｜PC|，故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声,故｜PB｜－ ｜PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,A
B
C
P
O
x
y

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得,∵|PB|>|PA|，

答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1。设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：｜PF2｜=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得

直角三角形，
故选B.
2。如图2所示,为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ )
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析］ ，选C
3。 P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） (D）
［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，

题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点,且过点（3，2）。求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
［解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点(3，2），∴－=1。
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12,b2=8。
故所求双曲线的方程为－=1。
解法二:设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2)代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用。
【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ；
[解析］设双曲线方程为，
当时，化为，，
当时,化为，，
综上，双曲线方程为或
5.以抛物线的焦点为右焦点，且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
［解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（x 〉 0） D．
［解析]，点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支，选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
[例3］ 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决
[解析］(方法1）由定义知，又已知，解得，，在中,由余弦定理，得,要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．
(方法2) ，
双曲线上存在一点P使，等价于
（方法3)设，由焦半径公式得，∵，∴,∴，∵，∴，∴的最大值为．
【名师指引】（1)解法1用余弦定理转化,解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
（2)点P在变化过程中，的范围变化值得探究;
（3）运用不等式知识转化为的齐次式是关键
【新题导练】
7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
［解析]当时，,，当时，，，或
8. 已知双曲线的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是( ）
A． B．2 C．或2 D．不存在
［解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D，则，，，
题型2 与渐近线有关的问题
［例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）
A。 　　 B。 　　 C。 　　　 D.
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系
［解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，，所以
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程
【新题导练】
9。 双曲线的渐近线方程是 ( ）
A. B。 C. D.
[解析]选C
10.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ )
A． B． C． D．
［解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B
基础巩固训练
1。 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是
（A) （B）
（C） （D）
[解析］椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A
2.已知双曲线的两个焦点为、,是此双曲线上的一点，且满足，,则该双曲线的方程是 （　　）
A． B． C． D．
［解析]由 和得,选A
3。两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
［解析] ,选D
4。设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ C )
A． B．1 C．2 D．不确定
［解析] C. 设，，，,

5。已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ）
(A）. (B). (C)。 (D）.
[解析] ,选B
6.曲线与曲线的 （ ）
A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都不对
[解析] 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程的曲线为焦点在y轴的双曲线，，故选A
综合提高训练
7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程
［解析]（1)依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，．
(2）设渐近线与直线交于A、B,则，，解得即，又，
双曲线的方程为
8。已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;
[解析］，
①.的一条渐进线方程为 ②，又 ③
由①②③得
9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ)求双曲线C的方程
(Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点），求k的取值范围
解（1）设双曲线方程为
由已知得，再由，得
故双曲线的方程为。
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得,
而
。
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
参考例题:
已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，，且．
(1)求双曲线的离心率；
（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若,，求双曲线C的方程．
（1）设，则，∵，∴，
∴．
（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，
依题意,可设，
由,得． ①
由，得,解得．
∵点在双曲线上，∴，
又，上式化简得． ②
由①②，得，从而得．故双曲线C的方程为．

双曲线专题练习一
一、填空题
1．椭圆与双曲线的焦点相同，则k= .
2．双曲线的渐近线为 两渐近线夹角为 。
3．已知为椭圆的两个焦点,为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为，则△面积的最大值为 ．
4．过点（-6,3)且和双曲线x2—2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。
5．过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是
6、若双曲线的一个焦点是(0，3），则k的值是 。
7. 已知直线y=kx—1与双曲线，试列出实数
k需满足的不等式组，使直线与双曲线交同支于两点， 。
8．点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若ÐF1PF2=120o，
则DF1PF2的面积 。
9．过点Ｍ（－２，０）的直线L与椭圆x2＋2y2＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点,线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｐ，设直线l的斜率为k1（k1≠0）,直线ＯＰ的斜率为k2，则k1k2的值为______。
10．若对任意kÎR，直线与双曲线总有公共点，则b范围 。
11．若方程x+k—=0只有一个解，则实数k的取值范围是______________.
12．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的
距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由
｜|PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2｜｜=8，得｜PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，
将正确的结果填在下面空格内.　　　 。
二、选择题
13。平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA｜+｜PB|是定值"，命题乙是
“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的 ( ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14。 经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,
则这样的直线存在的条数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　 ）
（A)４； (B）3;　　　　 （C）2； 　　　(D）１
15．双曲线与其共轭双曲线有 （ ）
A．相同的焦点 B。 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D。 相等的虚轴长
16．过点P（3，4）与双曲线只有一个交点的直线的条数为 （ ）
A．4 B。 3 C。2 D。 1
三、解答题
17．已知动圆与圆C1：(x+5)2+y2=49和圆C2：(x—5）2+y2=1都外切,
（1）求动圆圆心P的轨迹方程。
(2）若动圆P与圆C2内切,与圆C1外切,则动圆圆心P的轨迹是 。
若动圆P与圆C1内切,与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 。
若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。
（只需写出图形形状）

18．已知直线与双曲线交于、点。
（1）求的取值范围；(2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，
请求出的值；若不存在，说明理由。
解：
19．（1)椭圆C:(a＞b＞0）上的点A(1，）到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程；
（2）设K是(1)中椭圆上的动点， F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

20. 已知双曲线方程为,
(1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围,使直线与双曲线
有一个交点，两个交点,没有交点。
(2） 过点P(1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点,
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线，使Q(1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在,
求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

一、填空题
1． k= 2 。2． 。 3．2． 4． 5.
6、—1 。7。 。8．. 9． 。 10． 11． ［—1，1)
12． |PF2|=17。
二、选择题
13。 （ B )14 （ B ）15．（ B ）16C
三、解答题
X
O
Y
5
-5
2
·
17．已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x—5）2+y2=1都外切，
（1）求动圆圆心P的轨迹方程。
解：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。
两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距
动圆半径r,依题意有 7＋r＝|PC1｜，1＋r＝|PC2|，
两式相减得:|PC1｜－｜PC2|＝6 ＜｜C1C2|。
由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。
(x≥3)
（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线右支）
若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线左支）
若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。（两定圆连心线的垂直平分线）
18．已知直线与双曲线交于、点。
（1）求的取值范围；
（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称?若存在，
请求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1)由消去，得（1）
依题意即且（2)
(2)设，，则
∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴
但
由（3）（4），,
∴ 解得且满足（2）
（3）假设存在实数，使A、B关于对称,则直线与垂直
∴ ，即 直线的方程为
将代入（3)得
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为
但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称.
19．(1)椭圆C:（a＞b＞0)上的点A（1，）到两焦点的距离之和为4，
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解:（1)
(2）设中点为（x,y）, F1（—1,0) K(-2-x,-y)在上 Þ
（3)设M（x1,y1)， N（—x1，-y1), P(xo，yo), xo≠x1
则 为定值。
20。 已知双曲线方程为与点P（1，2),
（1)求过点P(1，2)的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点,两个交点，没有交点。
(2） 过点P(1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线，使Q（1，1)为被双曲线所截弦的中点？若存在,
求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率
存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1），代入C的方程,并整理得
(2－k2）x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (＊)
(ⅰ）当2－k2=0，即k=±时，方程(＊）有一个根，l与C有一个交点
（ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)]2－4（2－k2)（－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0，即3－2k=0,k=时，方程(＊）有一个实根,l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程（*）有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程（＊)无解,l与C无交点。
综上知：当k=±,或k=,或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜，或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
（2)假设以P为中点的弦为AB，且A（x1,y1）,B(x2，y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2（x1－x2)（x1+x2)=(y1－y2)（y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==1
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：。
（3）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2），则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2）（x1+x2）=(y1－y2)（y1+y2）
又∵x1+x2=2，y1+y2=2 ∴2（x1－x2)=y1－y1 即kAB==2
但渐近线斜率为±，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。
21已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P（6，6) （1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
解 （1）如图,设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9，b2=12 所以所求双曲线方程为=1
（2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、（3，0）、(－3，0),∴其重心G的坐标为(2,2）
假设存在直线l，使G（2,2）平分线段MN，设M（x1，y1)，N(x2,y2） 则有
，∴kl=∴l的方程为
y= (x－2)+2，由,消去y，整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0，∴所求直线l不存在
22． 已知双曲线,问过点A（1,1）能否作直线，使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线存在，并设、
则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将（4）、（5)代入(3）得
若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在. 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由（4)、（5）两式可推出（6）式，但由(6)式不能推出(4）(5）两式,故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的. 应在上述解题的基础上，再由
得 根据,说明所求直线不存在。

双曲线专题练习二
1。 过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则｜PA｜的最小值是( )
A. B。 C. D。 5
3. 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为( ）
A. B. C. D。
4. 设A为双曲线右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）
A。 B。 C。 （4，0) D.
5. 把曲线C1:按向量平移后得曲线，曲线有一条准线方程为,则的值为（ ）
A。 B。 C。 3 D.
6. 在中，若，则方程表示( ）
A. 焦点在x轴上的椭圆 B。 焦点在y轴上的椭圆
C。 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线
7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A. B。 C. D。
8. 设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A. 1 B。 C。 2 D. 不确定

二. 解答题
9。 已知双曲线M过点，且它的渐近线方程是.
(1)求双曲线M的方程;
（2)设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线在N内的部分，试求椭圆N的方程。
10. 已知双曲线C的中心在原点,抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线C过点。
（1）求双曲线C的方程；
(2）设双曲线C的实轴左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线C上一点P,试问是否存在常数，使得恒成立？并证明你的结论。
11。 双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为,相应于焦点的准线与轴相交于点A,且，过点F的直线与双曲线交于P、Q两点。
（1）求双曲线的方程及离心率；
（2）若,求直线PQ的方程。

【试题答案】
一.
1。 A
解析：设与有公共渐近线的双曲线方程为，把点代入可求得。
2。 C
解析：P点轨迹是以A（左）、B(右）为焦点的双曲线的右支(如图）P与双曲线右支顶点M重合时最小,最小值为。

3. C
解析：椭圆的长轴两端点和焦点分别为（5,0），，（4，0）,
设双曲线的方程为，则有，，
∴ ，
故其渐近线为
4. A
解析:（特殊值法）取，则
∴ 直线AC与x轴相交于点,故选A
5. C
解析：无论曲线为椭圆还是双曲线都可得到,且由题意可知曲线中心由(0,0）（1，2)后,曲线的一条准线为，可判定为的右准线
故，即，故
6。 C
解析:
即
，，
表示焦点在x轴上的双曲线，故选C.
7。 D
解析：由题意得
由（2)(3）可得，代入（1）得椭圆的离心率，故选D。
8. C
解析：设
设椭圆的长轴为，双曲线的实轴长为，
则

由此可得
即
将，代入,选C

二.
9。 解析：（1）所求双曲线的方程为
（2）由(1)知双曲线的焦点在x轴上
∴ 椭圆的焦点在y轴上
由于双曲线M的实轴长为
∴ 设椭圆方程为（其中
又设N中斜率为的弦的两端点为，其中点为
则
由（1）(2)得 ∴ N中斜率为的弦的中点的轨迹是直线在N内的部分。根据题意得 ∴
∴ 椭圆N的方程为
10. 解析：（1)由题意设双曲线方程为,把代入得 ①
又抛物线的焦点是（2，0）
故 ②
由①②得
所以所求双曲线方程为
（2)假设存在适合题意的常数，此时
先来考虑特殊情形下的值；
当轴时,将代入双曲线方程
解得
因为，所以是等腰直角三角形，，
此时
以下证明当PF与x轴不垂直时,恒成立
设，由于点P在第一象限内,所以直线PA的斜率存在，为
因为PF与x轴不垂直，所以直线PF的斜率也存在，为
所以
因为
所以
将其代入上式并化简得
因为，所以
即
因为，
所以
所以恒成立
综合以上两种思路，得存在常数，使得双曲线C在第一象限内的任意一点P,使恒成立。
11. 解:（1)由题意，设双曲线的方程为
由已知 解得
所以双曲线的方程为
离心率
（2）由（1）知A(1，0），F（3，0）
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为
此时,,应舍去
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为
由方程组
得
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则,即
由于，即
∴ 且（*）
设，则

由直线PQ的方程得,
于是 〈3〉
∵ ∴
即 〈4〉
由〈1〉〈2><3〉〈4〉得

整理得 ∴ ［满足（＊）]
∴ 直线PQ的方程为或