函数图像问题高考试题.doc

函数图像问题高考试题精选

一．选择题（共34小题）
1．函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．函数y=x+cosx的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
3．函数y=的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．函数y=xln|x|的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
5．函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
6．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
8．函数y=xln|x|的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
9．f（x）=的部分图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
11．函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
12．函数f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣5，5]上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
13．函数的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
14．函数f（x）=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
15．函数的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
16．函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
17．函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
18．函数f（x）=的部分图象大致是（　　）
A．． B．. C．. D．.
19．函数y=﹣2x2+2|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
20．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
21．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
22．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
23．函数y=的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
24．函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣2，2]上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
25．函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
26．函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
27．函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
28．函数y=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
29．函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
30．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
31．函数y=的一段大致图象是（　　）
A． B． C． D．
32．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
33．函数的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
34．函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．

二．解答题（共6小题）
35．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
36．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
37．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
38．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
39．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
40．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

函数图像问题高考试题精选
参考答案与试题解析

一．选择题（共34小题）
1．函数f（x）=（x2﹣2x）ex的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；
因为f'（x）=（x2﹣2）ex，解f'（x）＞0，
所以或时f（x）单调递增，排除B，D．
故选A．

2．函数y=x+cosx的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由于f（x）=x+cosx，
∴f（﹣x）=﹣x+cosx，
∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cosx=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为 ，排除D．
故选：B．

3．函数y=的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D

4．函数y=xln|x|的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；
又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；
令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．
故选：C．

5．函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，
∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，
∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，
故选：B
当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，
∴f′（x）=2x﹣2xln2，
故选：B

6．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；
当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，
故选：B．

7．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等
则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D
选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确
故选：A

8．函数y=xln|x|的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），
f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D，
当x→0时，f（x）→0，故排除B
又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，
故选：C．

9．f（x）=的部分图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，
∵x∈（0，1）时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；
当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；
故选：D

10．函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数是非奇非偶函数，排除A、B，
函数的零点是x=e﹣1，当x=e时，f（e）=，排除选项D．
故选：C．

11．函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（﹣x）====f（x），
∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除B，D；
又x→0时，ex+1→2，x（ex﹣1）→0，
∴→+∞，排除C，
故选A．

12．函数f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx在区间[﹣5，5]上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当x∈[0，5]时，f（x）=（2x﹣2﹣x）cosx=0，可得函数的零点为：0，，，排除A，B，
当x=π时，f（π）=﹣2π+2﹣π，＜0，对应点在x轴下方，排除选项C，
故选：D．

13．函数的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，
∵＜1，排除A．
当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，
故选C．

14．函数f（x）=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）==﹣，
当x=0时，可得f（0）=0，f（x）图象过原点，排除A．
当﹣＜x＜0时；sin2x＜0，而|x+1|＞0，f（x）图象在上方，排除C．
当x＜﹣1，x→﹣1时，sin（﹣2）＜0，|x+1|→0，那么f（x）→∞，
当x=﹣时，sin2x=﹣，y=﹣=，对应点在第二象限，排除D，
B满足题意．
故选：B．

15．函数的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，
∵＜1，排除A．
当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，
故选C．

16．函数y=x（x2﹣1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数y=x（x2﹣1），令f（x）=x（x2﹣1），
则f（﹣x）=﹣x（x2﹣1）=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，
又当0＜x＜1时，f（x）＜0，
综上所述，函数y=x（x2﹣1）的大致图象是选项A．
故选：A．

17．函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（﹣x）=﹣x+2sinx=﹣（x﹣2sinx）=﹣f（x），所以函数为奇函数，
故函数的图象关于原点对称，只有CD适合，
y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，
∴当x=时，函数取极值，故D适合，
故选：D．

18．函数f（x）=的部分图象大致是（　　）
A．． B．. C．. D．.
【解答】解：由x2+|x|﹣2=0，解得x=﹣1或x=1，
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），
∵f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称，故排除A，
令f（x）=0，解得x=0，故排除C，
当x=时，f（）=＜0，故排除B，
故选：D

19．函数y=﹣2x2+2|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由y=﹣2x2+2|x|知函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，故可排除B，D．
又当x=2时，y=﹣2•（﹣2）2+22=﹣4．所以，C是错误的，
故选：A．

20．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
f（x）=）=﹣，∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．
∴其图象关于y轴对称，可排除A、C，；
又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，
∴f（x）→﹣∞．故可排除B；
而D均满足以上分析．
故选：D．

21．函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，
x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；
所以排除B，C；
故选：A．

22．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数
满足f（﹣x）=﹣f（x），
故函数图象关于原点对称，排除A、B，
当x∈（0，）时，，
故排除D，
故选：C

23．函数y=的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=的导数为，
令y′=0，得x=，
时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．
∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．
且x=0时，y=0，
故选：C

24．函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣2，2]上的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=sinx（1+cos2x），
定义域为[﹣2，2]关于原点对称，
且f（﹣x）=sin（﹣x）（1+cosx）=﹣sinx（1+cosx）=﹣f（x），
则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
排除D；
由0＜x＜1时，y=sinx（1+cos2x）=2sinxcos2x＞0，
排除C；
又2sinxcos2x=0，可得x=±（0＜x≤2），
则排除A，B正确．
故选B．

25．函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）•ln|x|是偶函数；
排除选项A，D；
当x→0时，f（x）→+∞，排除选项B，
故选：C．

26．函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）=﹣e﹣ln|x|+x是非奇非偶函数，排除A，D；
当x＞0时，f（x）=﹣e﹣lnx+x=x﹣，函数是增函数，排除C；
故选：B．

27．函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．

28．函数y=的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=时，f（）==，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．

29．函数f（x）=x•ln|x|的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）=x•ln|x|是奇函数，排除选项A，C；
当x=时，y=，对应点在x轴下方，排除 B；
故选：D．

30．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵f（x）=eln|x|+
∴f（﹣x）=eln|x|﹣
f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，
故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，
可排除A，D，
当x→0+时，y→+∞，故排除B
故选：C．

31．函数y=的一段大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（﹣x）=﹣=﹣f（x），
∴y=f（x）为奇函数，
∴图象关于原点对称，
∴当x=π时，y=﹣＜0，
故选：A．

32．函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，
故选A．

33．函数的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（﹣x）===﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；
又当x＞1时，ln|x|=lnx＞0，∴f（x）＞0，故D错误，
故选B．

34．函数的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，
当x=时，f（）==
故选：D

二．解答题（共6小题）
35．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，
∵|OM||OP|=16，
∴=16，
即（x2+y2）（1+）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，
∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．

36．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．
∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①
由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；
（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，②
即（x﹣2）2+y2=4．
由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，
∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，
∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，
∴1﹣a2=0，
∴a=1（a＞0）．

37．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|==，
此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．

38．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．

39．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d==，
∴当s=时，d取得最小值=．

40．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，
∴其普通方程为：x+y﹣=0，
联立得：，
∴ρ2=x2+y2=+=5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=．

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