2021年高考数学模拟试题(二)(含解析).doc

2021年高考数学模拟试题（二）（含解析）

2021年高考数学模拟试题（二）（含解析）

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2021年高考数学模拟试题
1. 已知全集为实数集，集合，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意首先求得集合A和集合B，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果.
详解：求解对数函数的定义域可得：，
结合交集的定义可得：集合为.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（ ）
A B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义得到，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.
【详解】依题意可得，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.
3. 已知直线：，直线：，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=
故选D．
点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.
4. 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路
C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路
【答案】D
【解析】
【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选D
【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
5. 已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设，联立，化为，由，可得，根据韦达定理解出，进而可得结果.
【详解】设，
联立，化为，
直线与圆相交于两点，为坐标原点），
，解得，
，
，
，
，
，
解得，
则“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
6. 如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论．
【详解】抛物线的准线，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
∴的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，
∴，∴，故选 C.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点横坐标的范围是关键，属于中档题.
7. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（ ）

A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出酒杯下部分（半球）的表面积为，得到圆柱侧面积为，进一步得到酒杯上部分（圆柱）的高为，然后分别求出，，得到答案.
【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为
球的半径为R，则酒杯下部分（半球）的表面积为
酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，
酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得
酒杯下部分（半球）的体积
酒杯上部分（圆柱）的体积
所以.
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积，属于中档题.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由，得为直角，可得，即可得，然后利用直线斜率公式求解即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
设点，
因为，即为直角三角形，且为直角，
所以，则上，
解得，
故，又，
所以直线的斜率，所以，
故该双曲线的离心率.
故选：B
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）

A. 年接待游客量逐年增加
B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】ABD
【解析】
【分析】
观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.
【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：
A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；
在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；
在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；
在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题.
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）

A. 线段上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D.
【详解】如图所示，AB与为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；

，故平面ABCD，故B正确；
由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；
连结BD交AC于O，则AO为三棱锥A-BEF的高，
，
三棱锥A-BEF的体积为为定值，D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查了异面直线的定义、线面平行的判定定理、椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.
11. 已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（ ）
A. 的一个周期是 B. 是非奇非偶函数
C. 在单调递减 D. 的最大值大于
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先根据周期函数定义判断选项A，再根据函数的意义，转化为分段函数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C，D选项.
【详解】，
的一个周期是，故A正确；
，
非奇非偶函数，B正确；
对于C，时，，不增不减，所以C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.
12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）
A. 在内单调递增；
B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
D. 和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
令，利用导数可确定单调性，得到正确；
设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；
根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.
【详解】对于，，
，，
当时，，单调递增，
，在内单调递增，
正确；
对于，设，的隔离直线为，
则对任意恒成立，即对任意恒成立.
由对任意恒成立得：.
⑴若，则有符合题意；
⑵若则有对任意恒成立，
的对称轴为，，；
又的对称轴为，；
即，，；
同理可得：，；
综上所述：，，正确，错误；
对于，函数和的图象在处有公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，
则恒成立，
若，则不恒成立.
若，令，对称轴为
在上单调递增，
又，故时，不恒成立.
若，对称轴为，
若恒成立，则，解得：.
此时直线方程为：，
下面证明，
令，则，
当时，；当时，；当时，；
当时，取到极小值，也是最小值，即，
，即，
函数和存在唯一的隔离直线，正确.
故选：.
【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，，则实数__________．
【答案】
【解析】
由，则，
所以，
又由，所以，解得．
14. 已知，则__________．
【答案】180
【解析】
，，，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15. 函数的部分图象如图所示，则__；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则____.

【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据图象求得周期，利用周期计算公式求得；根据，即可求得；再求得平移后的函数解析式，根据奇偶性，列出等式，则可得.
【详解】根据函数的图象可得，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，，
所以，，
因为，所以.
所以，
将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数
的图象，
因为函数是偶函数，
所以，，
所以，，
因为，所以，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查由正弦型函数图像求解析式，涉及图象平移前后解析式的求解，以及根据正弦型函数的奇偶性求参数值，属综合基础题.
16. 设集合，则集合A中满足条件：“”的元素个数为__________.
【答案】18.
【解析】
【分析】
满足不等式的只有或4两种情况，分别确定每一类的元素组成从而求出可能的元素个数，两类元素个数相加即为所求.
【详解】对于分以下几种情况：
①，此时集合A的元素含有一个2，或，两个0，2或从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有种；
②，此时集合A中元素含有两个2一个0；或两个，一个0；或一个2，一个，一个0.
若是两个2或，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或，这种情况有种；
若是一个2，一个，一个0时，对这三个数全排列即得到种；
∴集合A中满足条件“”的元素个数为.
故答案为：18
【点睛】本题考查分类加法计数原理、排列、集合的概念，属于中档题.