双曲线及其标准方程优秀教案.doc

双曲线及其标准方程
一.教学目标:
（1）  知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；
（2）  过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3）  情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
二.教学重点:双曲线的定义
三.教学难点:双曲线方程的推导
四.教学过程:
(一)复习回顾

定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2（2>|F1F2|）的点的轨迹
表达式

标准
方程
()
M(x,y)
y
F2(0,c)
F1(0,-c)

x
( )

图形

焦点

的关系

(二)双曲线的定义:
1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?
2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
3.简单演示(使用几何画板).
4. （*）
注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下：
时为双曲线的一支（含的一支）；
时为双曲线的另一支（含的一支）.
②当时，表示两条射线.
③当时，不表示任何图形.
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为.
(2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合： }．
(3)代数方程 , ,
(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得:
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)
由双曲线定义， 即，所以设，代入上式得：． 即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.
(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)
强调指出：
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中．
(四).例题分析:
练习:写出下列双曲线的焦点坐标:
(1) (2) (3) (4)
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为：
,所以所求双曲线的标准方程为:
(五)小结

椭 圆
双 曲 线
定义

方程

M(x,y)
y
F2(0,c)
F1(0,-c)

x

图形

方案一

焦点

焦点位置
看分母大小
看系数正负
的关系

(六)作业:课本习题8.3 第1,2,4
思考题: 当时，方程表示怎样的曲线？
(七)板书设计:
8.3双曲线及其标准方程
(一) 复习回顾

(二) 双曲线的定义
1问题
2定义
3简单演示
4 备注

(三) 双曲线的标准方程
1标准方程的推导
2两种方程的比较

(四) 例题分析
练习
例1
(五) 小结

(六) 作业

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